Cent soixante ans pour une définition

Le cours vous a dit qu’une fonction n’est pas obligée d’être une formule, et l’Atelier vous a mis sous les yeux une table vieille de dix-huit siècles qui n’en a aucune. Vous avez peut-être trouvé cela évident. Ce ne l’était pas : il a fallu cent soixante ans pour l’admettre, et l’histoire de ces cent soixante ans est celle d’un mot qui change trois fois de sens.

1673 · le mot naît d’un dessin

Le mot fonction apparaît sous la plume de Leibniz, et il ne désigne alors rien de ce que vous appelez ainsi. Leibniz travaille sur des courbes, et il remarque que certaines grandeurs dépendent du point où l’on se place sur la courbe : la longueur de la tangente en ce point, celle de la normale, celle de la sous-tangente. Ces grandeurs, dit-il, sont des fonctions de la courbe, au sens où elles remplissent une fonction, un office, un rôle par rapport à elle.

Retenez d’où vient le mot : du dessin, pas du calcul. C’est une remarque de géomètre qui regarde une figure, pas une définition d’algébriste. Et c’est une petite ironie de l’histoire que le mot ait commencé sa vie du côté de la courbe, puisque c’est justement le côté que ce chapitre a mis le plus de temps à vous montrer.

À ce stade, une fonction n’est pas un objet. C’est une manière de parler de ce qui varie avec autre chose.

1748 · Euler impose la notation, et une définition trop étroite

Trois quarts de siècle plus tard, Leonhard Euler publie l’Introductio in analysin infinitorum. C’est le livre qui installe l’analyse comme une science des fonctions, et c’est lui qui impose la notation que vous écrirez cent fois cette année : un nom, une parenthèse, une variable.

$f(x)$

Cette notation est un événement, et il faut mesurer ce qu’elle apporte. Avant elle, on décrivait une dépendance par une phrase, comme al-Khwarizmi décrivait ses équations en toutes lettres. Après elle, on peut écrire la dépendance elle-même, la manipuler, la composer, lui appliquer des règles. La notation n’est pas ce qui permet de penser, mais c’est ce qui permet de penser vite.

Seulement voilà : la définition d’Euler est beaucoup plus étroite que la vôtre. Pour lui, une fonction est une expression analytique, c’est-à-dire une combinaison de la variable et de constantes par les opérations connues : additions, produits, puissances, racines, et les quelques opérations infinies qu’il maîtrise. Autrement dit, chez Euler, une fonction est une formule. Pas de formule, pas de fonction.

Le tarif postal du cours, qui associe un prix à chaque masse par un simple tableau, n’aurait pas été une fonction pour Euler. La table des cordes de Ptolémée non plus. Le disque du camion encore moins.

Ce qui a fait craquer la définition

On ne change pas une définition parce qu’elle est laide. On la change parce qu’elle empêche de dire quelque chose de vrai.

Le point de rupture vient de la physique, et plus précisément d’une querelle sur les cordes vibrantes qui occupe le XVIII^e siècle. Quand on pince une corde de guitare, la forme qu’elle prend à l’instant initial peut être n’importe quoi : un triangle si on l’a pincée en un point, une forme quelconque si on l’a déformée à la main. Cette forme est bien une correspondance parfaitement définie, à chaque point de la corde une hauteur, et une seule. Mais elle n’est donnée par aucune formule unique : elle est faite de morceaux.

Faut-il alors dire que la corde pincée en un point n’a pas de forme ? La question est absurde, et pourtant c’est ce que la définition d’Euler oblige à dire. Un siècle de mathématiciens s’échine à élargir la notion sans la casser, en autorisant des formules par morceaux, puis des séries, puis des séries de séries.

1837 · Dirichlet coupe le nœud

Peter Gustav Lejeune Dirichlet fait alors le geste le plus simple, et le plus difficile : il abandonne complètement l’idée de formule.

Sa définition tient en une phrase, et vous la reconnaîtrez, car c’est exactement celle du cours. Une fonction, c’est une correspondance qui, à chaque valeur de la variable dans un domaine donné, associe une seule valeur. Comment cette valeur est-elle obtenue ? Par une formule, par un tableau, par une machine, par une règle arbitraire, ou par rien du tout : cela ne regarde pas la définition. Seule compte l’unicité.

C’est un renversement complet. Avant Dirichlet, on demandait à une fonction comment elle calcule. Après lui, on lui demande seulement de ne jamais hésiter.

Entre 1673 et 1837, il s’est écoulé cent soixante-quatre ans.

Pourquoi cela vous concerne aujourd’hui

Vous héritez de la définition de Dirichlet, et vous l’avez reçue en une heure de cours. C’est confortable, et un peu injuste envers les cent soixante ans qu’elle a coûté. Mais elle a une conséquence directe sur ce que vous faites en classe, et elle explique deux exigences du chapitre qui paraissent tatillonnes.

La première : si seule l’unicité compte, alors l’ensemble de définition fait partie de la fonction. Ce n’est pas un détail administratif qu’on ajoute à la fin ; c’est le domaine sur lequel la correspondance s’engage à ne pas hésiter. Deux expressions identiques sur deux domaines différents sont deux fonctions différentes, et c’est pour cela que l’Atelier vous fait reprendre cinq verdicts d’appartenance quand on rétrécit l’ensemble de départ.

La seconde : si une fonction n’a pas besoin de formule, alors une table est une fonction à part entière, et le disque du camion aussi. Vous n’êtes pas en train de manipuler une version dégradée du « vrai » objet mathématique en attendant qu’on vous donne l’expression. Vous manipulez l’objet lui-même.

Et si vous voulez voir jusqu’où va cette idée, sachez que Dirichlet avait poussé le raisonnement à son terme avant même de publier sa définition : dès 1829, il construit exprès un monstre, la fonction qui vaut $1$ sur les rationnels et $0$ ailleurs. Elle n’a aucune expression analytique au sens d’Euler, aucun tracé possible, pas un seul morceau continu, et elle associe pourtant à chaque réel une valeur, une seule. C’est cet objet qui a préparé la définition de 1837, bien plus qu’il ne l’a illustrée après coup.