Les réponses des blocs « À vous »

Le cours pose six méthodes, et chacune est suivie de deux jumeaux : dans le premier, la dernière étape vous est laissée ; dans le second, les deux dernières. Nulle part il ne donne les réponses. Les voici.

Une consigne avant de descendre : cherchez d’abord. Un jumeau lu sans avoir été tenté ne vaut rien, parce que ce qu’il entraîne n’est pas le calcul mais le geste de conclure. Comparez ensuite, et regardez surtout la forme de la réponse, pas seulement son résultat.

M1 · Calculer l’image d’un nombre

Rappel de la méthode : vérifier que le nombre est dans l’ensemble de définition, remplacer $x$ entre parenthèses, calculer en respectant les priorités, contrôler l’ordre de grandeur, et conclure par une phrase.

M1a. La fonction est $f(x) = 3x^{2} - 5x + 1$, et l’on demande l’image de $3$. Le calcul est déjà amorcé : $f(3) = 3 \times 3^{2} - 5 \times 3 + 1 = 27 - 15 + 1$.

$f(3) = 13$

Le contrôle demandé. Pour $x = 3$, le terme $3x^{2}$ vaut $27$ et le terme $5x$ vaut $15$ : c’est le premier qui l’emporte, et de loin. Le résultat était donc prévisiblement positif, sans qu’il soit besoin d’achever le calcul.

La phrase attendue : l’image de $3$ par $f$ est $13$. Pas « $f$ est égale à 13 », qui confondrait le procédé et le nombre.

M1b. Même fonction, image de $-1$. L’énoncé s’arrête après $f(-1) = 3 \times (-1)^{2} - 5 \times (-1) + 1$. Deux pièges y sont tendus en même temps : le carré d’un nombre négatif est positif, et $-5 \times (-1)$ vaut $+5$.

$f(-1) = 3 + 5 + 1 = 9$

Le contrôle : pour $x$ négatif, les deux termes $3x^{2}$ et $-5x$ sont positifs ; un résultat négatif aurait été absurde.

M2 · Déterminer les antécédents d’un nombre

Rappel : écrire l’équation $f(x) = k$, reconnaître son type, la résoudre avec les gestes d’A3, écarter les solutions qui ne sont pas dans le domaine, et conclure par une phrase d’antécédents.

M2a. La fonction $g$ est définie sur $[-3\,;3]$ par $g(x) = x^{2} - 4$, et l’on cherche les antécédents de $12$. L’équation $x^{2} - 4 = 12$ donne $x^{2} = 16$, donc $x = 4$ ou $x = -4$.

Et c’est là que le jumeau se referme : ni $4$ ni $-4$ n’appartient à $[-3\,;3]$.

$\text{le nombre } 12 \text{ n'a aucun antécédent par } g$

Deux solutions trouvées, deux solutions jetées, et une réponse qui n’est pas un nombre. C’est l’étape 4 de la méthode, celle qu’on saute quand on croit avoir fini au moment où l’équation est résolue. Si vous avez répondu $4$ et $-4$, ce n’est pas votre calcul qui a manqué, c’est votre lecture de l’ensemble de définition.

M2b. La fonction $w$ est définie sur $\mathbb{R}$ par $w(x) = (x+5)(x-2)$, et l’on cherche les antécédents de $0$. C’est une équation produit nul : elle s’annule lorsque l’un au moins des deux facteurs s’annule.

$x = -5 \quad \text{ou} \quad x = 2$

Le domaine étant $\mathbb{R}$ tout entier, il n’y a rien à écarter. Le nombre $0$ admet exactement deux antécédents par $w$, les réels $-5$ et $2$.

M3 · D’une description à une écriture explicite

Rappel : repérer l’ensemble de départ et la condition, écrire par compréhension, traiter la condition, expliciter en intervalle et contrôler sur la droite graduée.

M3a. « L’ensemble des réels dont le triple augmenté de $12$ est strictement négatif. » Par compréhension : $\{\, x \in \mathbb{R} \mid 3x + 12 < 0 \,\}$. On traite : $3x < -12$, donc $x < -4$.

$\left]-\infty\,;-4\right[$

Le contrôle sur la droite. On place $-4$ sur une droite graduée et l’on hachure tout ce qui se trouve à sa gauche, le point lui-même exclu puisque l’inégalité est stricte. Deux sentinelles suffisent à confirmer : $-5$ donne $3 \times (-5) + 12 = -3$, strictement négatif, il est bien dans l’ensemble ; $0$ donne $12$, positif, il n’y est pas.

M3b. « L’ensemble des réels dont le quadruple augmenté de $5$ est supérieur ou égal à $1$. » L’écriture est donnée, $\{\, x \in \mathbb{R} \mid 4x + 5 \geqslant 1 \,\}$ ; il reste à traiter et à expliciter. On obtient $4x \geqslant -4$, donc $x \geqslant -1$.

$\left[-1\,;+\infty\right[$

Le crochet est fermé en $-1$ parce que l’inégalité est large : le contrôle sur la droite graduée sert exactement à ne pas se tromper de crochet.

M4 · Déterminer un ensemble de définition

Rappel : repérer les obstacles, poser la condition par compréhension, la traiter obstacle par obstacle, l’écrire en intervalles.

M4a. L’expression est $\dfrac{x+7}{(x-1)(x+6)}$. L’obstacle est le dénominateur, et il est factorisé : il s’annule lorsque $x = 1$ ou $x = -6$, donc il est non nul lorsque $x \neq 1$ et $x \neq -6$. Deux valeurs interdites, donc deux trous, donc trois intervalles.

$\left]-\infty\,;-6\right[ \;\cup\; \left]-6\,;1\right[ \;\cup\; \left]1\,;+\infty\right[$

M4b. L’expression est $\sqrt{2x - 8}$. L’obstacle est le radical : il faut $2x - 8 \geqslant 0$, donc $2x \geqslant 8$, donc $x \geqslant 4$.

$\left[4\,;+\infty\right[$

M5 · Tester l’appartenance d’un point à une courbe

Rappel : vérifier que l’abscisse est dans le domaine, calculer l’image de cette abscisse, la comparer à l’ordonnée, conclure en nommant laquelle des deux conditions a tranché.

M5a. La fonction $f$ est définie sur $[-4\,;4]$ par $f(x) = x^{2} - 4$, et le point est $Q(1\,;-3)$. L’abscisse $1$ appartient bien à $[-4\,;4]$, et $f(1) = 1 - 4 = -3$, qui est l’ordonnée du point.

$Q \in \mathcal{C}_f$

Laquelle des deux conditions a tranché ? Aucune, et c’est la réponse : les deux sont remplies, et c’est seulement parce qu’elles le sont toutes les deux que la conclusion tient. On ne « tranche » que lorsqu’une condition échoue.

Ce qu’il aurait fallu changer pour inverser le verdict. N’importe quelle ordonnée autre que $-3$. L’abscisse $1$ étant dans le domaine, la première condition tient quoi qu’il arrive ; c’est la seconde qui décide, et elle exige l’égalité exacte avec $f(1)$. Un point $(1\,;-2{,}99)$ n’est pas sur la courbe.

M5b. Même fonction, point $R(5\,;21)$. La première étape suffit : $5$ n’appartient pas à $[-4\,;4]$.

$R \notin \mathcal{C}_f$

Et il est inutile de calculer $f(5)$. C’est tout l’intérêt de l’ordre des étapes : le calcul $5^{2} - 4 = 21$ tombe juste, et c’est précisément le piège. Une copie qui calcule d’abord trouve $21$, croit avoir gagné, et conclut faux. Le point $R$ n’est pas sur la courbe, non parce que le calcul rate, mais parce que la courbe s’arrête avant lui.

M6 · Lire une image et les antécédents

Rappel : monter à la verticale pour une image, tracer l’horizontale pour des antécédents, lire toutes les rencontres, et dire si chaque lecture est sûre ou seulement approchée.

M6a. Sur la courbe de $v$, lire l’image de $-1$, puis les antécédents de $3$.

$v(-1) = -2 \qquad \text{et } 3 \text{ a un seul antécédent, le nombre } 2$

M6b. Sur la même courbe, lire l’image de $0$, puis les antécédents de $-2$.

$v(0) = -1 \qquad \text{et } -2 \text{ a un seul antécédent, le nombre } -1$

Les quatre lectures tombent sur des intersections du quadrillage : elles sont sûres. Ce n’est pas toujours le cas, et l’Atelier vous fait travailler exactement l’autre situation, celle où le point tombe entre deux graduations et où la seule réponse honnête commence par « environ ».

Ce que ces douze réponses ont en commun

Regardez-les ensemble. Beaucoup ne sont pas des nombres : quatre sont des intervalles ou des réunions d’intervalles (M3a, M3b, M4a, M4b), deux sont des verdicts (M5a, M5b), et une est un refus (M2a).

Mais deux seulement sont des pièges, et ce sont les deux mêmes ressorts. Dans M2a, le calcul aboutit à $4$ et $-4$, et les deux sont à jeter. Dans M5b, le calcul aurait abouti à $21$, qui est l’ordonnée cherchée, et il ne fallait pas le faire. Dans les deux cas, ce n’est pas le calcul qui décide : c’est l’ensemble de définition.

C’est le réflexe du chapitre, et il tient en une question à se poser avant de conclure : ce nombre que je viens de trouver, a-t-il le droit d’exister ici ?