Hamilton et le Broom Bridge

Le cours vous a donné la scène : le 16 octobre 1843, Dublin, le pont, la gravure au couteau, et le théorème de Frobenius qui ferme le dossier trente-quatre ans plus tard. On ne va pas refaire cela. On va faire deux choses que le cours n’avait pas la place de faire : raconter l’homme, et vous montrer en une demi-page où les triplets se bloquent, par un calcul de trois lignes que vous pouvez conduire vous-même.

Un enfant prodige devenu astronome royal

William Rowan Hamilton naît à Dublin dans la nuit du 3 au 4 août 1805. Sa légende commence par les langues, pas par les mathématiques : élevé par un oncle pasteur, il lit le grec, le latin, l’hébreu, puis l’arabe, le persan et le sanskrit avant l’adolescence. Il se tourne vers l’analyse après avoir lu Newton et Laplace, et il y trouve d’ailleurs une erreur de Laplace, ce qui le fait remarquer.

La suite est sans équivalent. En 1827, il est encore étudiant de premier cycle à Trinity College, il n’a pas passé ses examens finaux, et on le nomme professeur d’astronomie et astronome royal d’Irlande. Il a vingt et un ans. Il s’installe à l’observatoire de Dunsink, où il vivra le reste de sa vie, et où il se révélera un astronome médiocre et un mathématicien immense.

En 1837 paraît le mémoire que le cours vous a présenté, Theory of Conjugate Functions, or Algebraic Couples. Son objectif affiché est de débarrasser $\sqrt{-1}$ de ses « pierres d’achoppement métaphysiques » en définissant les nombres complexes comme de simples couples de réels. Le problème est réglé. Et c’est exactement là que commence l’obsession : si un couple de réels est un nombre, pourquoi pas un triplet ?

« Papa, sais-tu multiplier les triplets ? »

Le cours vous a rapporté la question des enfants. Elle mérite sa source exacte, parce qu’elle vient de Hamilton lui-même, dans une lettre écrite à son fils Archibald le 5 août 1865, un mois avant sa mort. Il y rappelle qu’en octobre 1843, chaque matin, en descendant déjeuner, ses deux garçons lui demandaient : « Eh bien, papa, sais-tu multiplier les triplets ? » Et il ajoute ce qu’il répondait, secouant tristement la tête : non, il savait seulement les additionner et les soustraire.

Cette réponse est le résumé exact du problème, et elle mérite qu’on s’y arrête. Additionner des triplets est immédiat, on additionne coordonnée par coordonnée. Soustraire aussi. Multiplier par un réel aussi. Tout ce qui est linéaire marche sans effort. Ce qui manque, et qui manque depuis treize ans, c’est le produit.

Le calcul qui ferme la porte

Voici l’obstacle, mis à nu. Les Coulisses vous ont donné l’autre argument, celui des normes, où deux entiers bien choisis, $3$ et $5$, suffisent à interdire toute identité à trois carrés à coefficients entiers : n’y revenez pas, cette porte est déjà close. Celle-ci est une porte voisine, et elle se ferme autrement.

Supposons que l’on sache faire. On travaille dans l’espace des triplets, que l’on écrit $a + bi + cj$ avec $a$, $b$ et $c$ réels, en gardant les hypothèses les plus naturelles du monde : le produit est distributif, il est associatif, les réels commutent avec tout, et l’on demande, comme dans $\mathbb{C}$, que

$i^2 = j^2 = -1 .$

Une seule question reste ouverte : que vaut $ij$ ? Si le produit ne quitte pas l’espace des triplets, ce nombre doit s’écrire dans la base, c’est-à-dire qu’il existe trois réels $a$, $b$ et $c$ tels que $ij = a + bi + cj$.

Multiplions cette égalité par $i$, à gauche. Le membre de gauche donne $i(ij) = i^2 j = -j$. Le membre de droite se développe :

$i(a + bi + cj) = ai + bi^2 + c\,(ij) = ai - b + c\,(a + bi + cj) ,$

soit, en regroupant, $(ac - b) + (a + bc)\,i + c^2 j$. Les deux membres sont égaux, donc leurs coordonnées le sont, et celle en $j$ donne

$c^2 = -1 .$

Il n’y a pas de réel de carré $-1$. La contradiction est totale, et regardez bien ce qu’elle dit : elle ne dit pas que le calcul est difficile, elle dit que $ij$ ne peut pas être un triplet. Treize ans de recherche pour un produit qui n’a nulle part où se poser.

Le pont

Le 16 octobre 1843, Hamilton marche le long du Royal Canal avec sa femme Helen, en direction d’une séance de la Royal Irish Academy qu’il doit présider. Il rumine, comme tous les jours. Et sur le Broom Bridge, qu’Hamilton appelait quant à lui le pont de Brougham, la solution lui arrive d’un coup : il faut cesser d’exiger que $ij$ reste un triplet. On appelle $k$ ce produit, on accepte de vivre en dimension $4$, et l’on paie le prix. Il sort son canif et grave dans la pierre

$i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1 .$

Ces quatre égalités suffisent à tout reconstruire, et vous pouvez le vérifier maintenant, en n’utilisant que l’associativité.

Multipliez $ijk = -1$ à droite par $k$ : il vient $ij\,k^2 = -k$, c’est-à-dire $-ij = -k$, donc

$ij = k .$

Multipliez maintenant $ijk = -1$ à gauche par $i$ : il vient $i^2 jk = -i$, c’est-à-dire $-jk = -i$, donc $jk = i$. Multipliez enfin cette dernière égalité à gauche par $j$ : $j^2 k = ji$, c’est-à-dire

$ji = -k .$

Comparez maintenant les deux résultats obtenus : $ij = k$ et $ji = -k$. Le produit de deux quaternions dépend de l’ordre des facteurs, et sur les trois unités il en dépend de la manière la plus violente qui soit, puisque échanger deux unités distinctes change le signe du produit. C’est ce qu’on appelle l’anticommutativité des unités, et c’est le prix exact du passage à la dimension $4$. Trois lignes de calcul à partir d’un graffiti : voilà pourquoi cette gravure est célèbre.

Le lendemain, Hamilton écrit à son ami John Graves pour lui raconter la découverte, et il obtient de lire une communication sur les quaternions à la séance de l’Académie du 13 novembre. La gravure, elle, n’a pas tenu : la pierre a été rejointoyée, et c’est une plaque commémorative, inaugurée en 1958 par Éamon de Valera, mathématicien devenu chef de l’État irlandais, qui marque aujourd’hui l’endroit.

L’après, et le prix payé deux fois

Hamilton a consacré les vingt-deux dernières années de sa vie aux quaternions, avec une intensité qui ressemble à un enfermement : les Lectures on Quaternions en 1853, puis les Elements of Quaternions, qu’il n’achèvera pas et qui paraîtront en 1866, un an après sa mort, survenue le 2 septembre 1865. Ses dernières années sont désordonnées, la maison de Dunsink est un chaos de papiers, et il croit avoir donné au monde l’outil universel de la physique.

Ce n’est pas ce qui s’est passé. Vers la fin du siècle, Josiah Willard Gibbs et Oliver Heaviside extraient du calcul quaternionique les deux morceaux dont les physiciens avaient réellement besoin, le produit scalaire et le produit vectoriel, et fondent l’analyse vectorielle telle que vous la pratiquez. Une querelle assez vive oppose alors les partisans des quaternions, menés par Peter Guthrie Tait, aux vectorialistes ; les quaternions perdent, et disparaissent des programmes pendant près d’un siècle.

Ils sont revenus par une porte que personne n’attendait. Représenter une rotation de l’espace par un quaternion évite le défaut des angles d’Euler que le cours a nommé, et c’est aujourd’hui le format standard en robotique, en imagerie et dans tous les moteurs de rendu tridimensionnel. Le mémoire de 1843 tourne en ce moment même dans des millions de machines, exactement là où son auteur ne l’attendait pas.

Sources

• MacTutor History of Mathematics, notice « William Rowan Hamilton » (naissance, nomination de 1827, chronologie des recherches sur les triplets, mort en 1865).
• W. R. Hamilton, lettre à son fils Archibald H. Hamilton, 5 août 1865 : la source de la question des enfants au petit déjeuner et de la réponse « je sais seulement les additionner et les soustraire ».
• W. R. Hamilton, Theory of Conjugate Functions, or Algebraic Couples, Transactions of the Royal Irish Academy, 1837.
• W. R. Hamilton, lettre à John T. Graves du 17 octobre 1843, récit de la découverte de la veille.
• Cours C1, § 6.2 (Broom Bridge et théorème de Frobenius) et Coulisses C1, pièce n°5 (l’argument des trois carrés, que cette page ne refait pas).