Le duel de 1548

Les Coulisses vous ont conduits dans l’église Santa Maria del Giardino, le 10 août 1548, devant Ferrante Gonzaga et le tout-Milan. Elles vous ont dit ce qu’était un défi mathématique de la Renaissance et pourquoi une méthode secrète valait une chaire. Elles n’avaient pas la place d’ouvrir le dossier. Le voici : dix-huit mois de guerre de papier qui précèdent la rencontre, les problèmes réellement posés, la raison mathématique pour laquelle Ferrari ne pouvait pas perdre, et les trois destins qui suivent.

Dix-huit mois de guerre de papier

Le duel de Milan n’est pas un coup de sang. C’est l’aboutissement d’une campagne imprimée, méthodique, qui commence le 10 février 1547. Ce jour-là, Ludovico Ferrari fait imprimer à ses frais un cartello di sfida matematica, un carton de défi, et l’expédie non seulement à Tartaglia mais à une liste soigneusement choisie de mathématiciens, de princes et de mécènes d’Italie. Le procédé est essentiel : le défi est public dès la première ligne, et chaque camp plaide devant un jury d’opinion avant de plaider devant un juge.

Tartaglia réplique par un contro-cartello. Ferrari répond. Douze pièces au total, six de chaque main, entre février 1547 et juillet 1548. Elles ont été conservées et republiées en 1876 par Enrico Giordani, ce qui fait de cette querelle l’une des mieux documentées de l’histoire des mathématiques : nous avons les pièces écrites, dans l’ordre, avec leurs dates.

Le premier cartello porte sa liste de problèmes, et le contre-cartello y répond nombre pour nombre : trente et un de chaque côté, chiffre que toute la littérature répète et que je n’ai pas pu vérifier sur l’édition des cartelli elle-même ; tenez-le pour ce qu’il est, une tradition plus qu’un fait établi. Le contenu n’est pas ce qu’on imagine. On y trouve bien des équations, mais aussi de la géométrie, des questions de proportions, des problèmes d’arithmétique commerciale, et beaucoup de polémique : Ferrari attaque la lecture que Tartaglia donne du livre V d’Euclide, celui de la théorie des proportions, et conteste ses travaux de balistique. Un défi de la Renaissance n’est pas un concours, c’est un procès en compétence, et tout y est recevable.

Pourquoi Ferrari ne pouvait pas perdre

Il faut ici corriger une idée reçue que le cours ne pouvait pas traiter en une boîte historique. On dit souvent : Ferrari détenait le quatrième degré, Tartaglia ne l’avait pas, donc Ferrari gagne. C’est vrai, mais insuffisant, car en 1548 le quatrième degré n’est plus un secret : l’Ars Magna de 1545 l’a imprimé, avec la méthode de Ferrari, comme il a imprimé le troisième degré avec la méthode de del Ferro et de Tartaglia. Tout est public depuis trois ans. Les deux adversaires ont accès aux mêmes pages.

Le déséquilibre est ailleurs, et il est double.

D’abord, la publication a détruit le capital de Tartaglia sans toucher à celui de Ferrari. Ce que Tartaglia possédait, c’était l’exclusivité d’une méthode ; elle est désormais dans toutes les bibliothèques d’Italie. Ce que Ferrari possède, c’est d’avoir inventé la sienne, ce qu’aucune impression ne lui reprend. Entre 1546 et 1548, Tartaglia écrit des polémiques ; Ferrari, lui, calcule.

Ensuite, un problème de degré 4 ne s’annonce jamais comme tel. Prenez celui que Cardan traite au chapitre XXXIX de l’Ars Magna, dans le style exact des cartelli : partager $10$ en trois parties en proportion continue, telles que le produit des deux premières vaille $6$.

Appelons $a$, $b$ et $c$ les trois parties. La proportion continue signifie $\dfrac{b}{a} = \dfrac{c}{b}$. La condition sur le produit donne $ab = 6$, donc $a = \dfrac{6}{b}$, et la proportion donne $c = \dfrac{b^2}{a} = \dfrac{b^3}{6}$. La somme s’écrit alors

$\dfrac{6}{b} + b + \dfrac{b^3}{6} = 10 ,$

et en multipliant par $6b$, tout devient limpide :

$b^4 + 6b^2 + 36 = 60b .$

Un énoncé de trois lignes sur un partage de $10$, et vous voilà en degré $4$. Voilà l’arme réelle. Sous la pression, avec un délai et un public, l’adversaire doit successivement mettre le problème en équation, reconnaître qu’il est quartique, appliquer la réduction de Ferrari, résoudre la cubique résolvante qui en sort, puis remonter aux racines. Les deux étapes du milieu sont le terrain de Ferrari ; et la résolvante peut elle-même tomber dans le cas où la formule de Cardan exige des racines carrées de nombres négatifs, c’est-à-dire précisément le piège dans lequel l’activité du chapitre vous a fait marcher. Vous referez la réduction complète à l’exercice 27 de l’Atelier ; retenez pour l’instant qu’un adversaire capable de fabriquer ces énoncés à volonté tient son homme.

La journée, et les deux versions

Cardan n’est pas là. Il s’est arrangé pour être ailleurs, laissant son élève régler une affaire qui était la sienne. Ferrari, lui, joue à domicile : Milan est sa ville, la salle est acquise, et Ferrante Gonzaga préside.

Sur ce qui s’est dit, nous n’avons pas de procès-verbal impartial. Nous avons les cartelli, qui sont des pièces à charge, et le récit que Tartaglia donnera lui-même plus tard : il y affirme qu’il tenait bon et qu’il est parti à cause de l’hostilité de la salle. Tous les autres témoignages concluent à la victoire de Ferrari. La seule chose certaine est le fait matériel : Tartaglia quitte Milan dans la nuit, le défi reste sans conclusion prononcée, et à partir de ce jour, dans toute l’Italie, on considère qu’il a perdu. En matière de réputation, c’est équivalent.

Ce que sont devenus les trois hommes

Tartaglia ne s’appelait pas Tartaglia. Son nom est Niccolò Fontana. Vers 1512, lors du sac de Brescia par les troupes françaises, l’enfant qu’il est reçoit un coup de sabre au visage ; il en garde une cicatrice, un défaut d’élocution, et le surnom de bègue, qu’il finira par signer lui-même. Après Milan, sa chaire brescianne ne dure guère plus d’un an, son traitement n’est jamais versé, il rentre à Venise donner des leçons particulières et meurt pauvre le 13 décembre 1557, laissant inachevé son General Trattato. Une chose lui survit pourtant, et ce n’est pas la cubique : son édition italienne des Éléments d’Euclide, parue en 1543, est la première traduction imprimée d’Euclide dans une langue européenne moderne. Il a mis Euclide entre les mains de gens qui ne lisaient pas le latin, et cela pèse plus lourd que le défi.

Ferrari, né à Bologne le 2 février 1522, encaisse tout ce que la victoire promettait. Il devient estimateur des impôts pour le gouverneur de Milan, entre au service du cardinal Ercole Gonzaga, s’enrichit assez pour se retirer, puis revient à Bologne où on lui offre la chaire de mathématiques. Il meurt le 5 octobre 1565, à quarante-trois ans, d’un empoisonnement à l’arsenic blanc. Ici commence la légende, et il faut la donner pour ce qu’elle est : les sources rapportent que sa sœur Maddalena l’aurait empoisonné pour l’héritage, qu’elle a effectivement tout reçu, qu’elle s’est remariée dans les deux semaines, et que son nouveau mari a pris la fortune et l’a laissée sans rien. Le récit est constant, l’empoisonnement volontaire n’est pas prouvé, et la mort par arsenic, à cette époque, pouvait aussi bien être médicale qu’accidentelle.

Cardan paie le plus longtemps. Après l’exécution de son fils en 1560 et son arrestation par l’Inquisition en 1570, il passe plusieurs mois en prison, abjure, perd sa chaire et se voit interdire de publier. Il gagne Rome en 1571, y est admis au collège des médecins et obtient, contre toute attente, une pension pontificale ; on l’attribue d’ordinaire à Grégoire XIII, élu en 1572, mais cette attribution relève plus de la légende historique que du document, et je n’ai rien trouvé qui la confirme ni l’infirme. Il consacre ses derniers mois à écrire De propria vita, une autobiographie d’une franchise brutale où il compte ses défauts avec la même application qu’il mettait à compter des chances aux dés ; elle ne paraîtra qu’en 1643. Il meurt le 21 septembre 1576. La légende veut qu’il ait prédit la date de sa propre mort et se soit laissé mourir de faim pour ne pas se tromper : c’est une légende, et elle ressemble trop à l’homme pour être vraie.

Sources

• MacTutor History of Mathematics, notices « Niccolò Fontana Tartaglia », « Lodovico Ferrari » et « Girolamo Cardano » (dates, cartelli, chaire de Brescia, mort de Ferrari, dernières années de Cardan).
• Enrico Giordani, I sei cartelli di matematica disfida di Ludovico Ferrari coi sei contro-cartelli di Nicolò Tartaglia, Milan, 1876 : la réédition des douze pièces imprimées de 1547-1548.
• Jérôme Cardan, Ars Magna, 1545, chapitre XXXIX : le problème des trois parties en proportion continue et la méthode de Ferrari.
• Jérôme Cardan, De propria vita liber, écrit en 1576, publié à Paris en 1643.
• Coulisses C1, pièce n°1, « Milan, 10 août 1548 » : le récit que cette page prolonge.