Aller plus loin · Preuve

Trois façons de multiplier le plan

L'Atelier a affirmé que ℂ, les nombres déployés et les nombres duaux sont les seuls produits possibles sur le plan. Voici la démonstration de cette classification, puis ce que les deux mondes rivaux servent à faire : la relativité restreinte, et la dérivation automatique.

Les exercices $21$ et $22$ de l’Atelier ont fait tourner deux produits rivaux sur $\mathbb{R}^2$ , tous deux définis pour tous réels $a$ , $b$ , $c$ , $d$ . Le déployé ne change qu’un signe : $(a\,;b) \odot (c\,;d) = (ac+bd\ ;\ ad+bc)$ , et son élément $j = (0\,;1)$ vérifie $j^2 = 1$ . Le dual oublie un terme : $(a\,;b) \circledast (c\,;d) = (ac\ ;\ ad+bc)$ , et son élément $\varepsilon = (0\,;1)$ vérifie $\varepsilon^2 = 0$ . Le premier a des diviseurs de zéro, le second un élément non nul non inversible : ni l’un ni l’autre n’est un corps.

La synthèse de l’exercice $22$ affirmait ensuite, sans le démontrer, que ces trois produits sont les seuls. Cette page comble le trou, puis va voir à quoi servent les deux perdants.

La classification

Théorème. Soit $A$ un ensemble muni d’une addition et d’un produit faisant de lui une $\mathbb{R}$ -algèbre commutative, associative, unitaire, de dimension $2$ sur $\mathbb{R}$ , et contenant $\mathbb{R}$ par l’identification $x \mapsto x \cdot 1$ . Alors $A$ est isomorphe à $\mathbb{C}$ , aux nombres déployés, ou aux nombres duaux.

Une base adaptée. Soit $u \in A$ non réel : il en existe, puisque $\mathbb{R}$ est de dimension $1$ dans un espace de dimension $2$ . La famille $(1\,;u)$ est libre, car une relation $\lambda + \mu u = 0$ avec $\mu \neq 0$ donnerait $u = -\dfrac{\lambda}{\mu} \in \mathbb{R}$ ; c’est donc une base.

La complétion du carré. L’élément $u^2$ se décompose dans cette base : il existe $\alpha \in \mathbb{R}$ et $\beta \in \mathbb{R}$ tels que $u^2 = \alpha u + \beta$ . Posons $v = u - \dfrac{\alpha}{2}$ . Alors

v^2 = u^2 - \alpha u + \dfrac{\alpha^2}{4} = \beta + \dfrac{\alpha^2}{4} ,

qui est un réel, notons-le $\delta$ . Et $(1\,;v)$ est encore une base, puisque $v$ n’est pas réel.

Le produit de $A$ est alors entièrement déterminé par le seul nombre $\delta$ : pour tous réels $a$ , $b$ , $c$ , $d$ , la distributivité donne

(a+bv)(c+dv) = (ac + bd\,\delta) + (ad+bc)\,v .

Trois cas, et pas un de plus. Le signe de $\delta$ décide, et une mise à l’échelle normalise.

Si $\delta < 0$ , posons $w = \dfrac{v}{\sqrt{-\delta}}$ : alors $w^2 = \dfrac{\delta}{-\delta} = -1$ . Le produit devient celui de $\mathbb{C}$ .
Si $\delta > 0$ , posons $w = \dfrac{v}{\sqrt{\delta}}$ : alors $w^2 = 1$ . Le produit devient celui des déployés.
Si $\delta = 0$ , posons $w = v$ : alors $w^2 = 0$ , avec $w \neq 0$ . Le produit devient celui des duaux.

Dans les trois cas, $(1\,;w)$ est une base, et l’application $\mathbb{R}$ -linéaire envoyant $1$ sur $1$ et $w$ sur le générateur correspondant ( $i$ , $j$ ou $\varepsilon$ ) est bijective et respecte le produit, par le même développement, qui ne dépend que de $w^2$ .

Les trois sont bien distincts. Dans $\mathbb{C}$ , aucun produit d’éléments non nuls n’est nul. Chez les déployés, $(1+j)(1-j) = 0$ , mais aucun élément non nul n’a un carré nul, puisque, pour tous réels $a$ et $b$ , $(a+bj)^2 = \left(a^2+b^2\right) + 2ab\,j$ s’annule seulement si $ab = 0$ et $a^2+b^2 = 0$ , donc si $a = b = 0$ . Chez les duaux, $\varepsilon$ est justement un tel élément. Aucun isomorphisme ne relie donc deux de ces mondes.

Mise en garde reprise de l’Atelier : les quatre hypothèses comptent. Le produit défini, pour tous réels $a$ , $b$ , $c$ , $d$ , par $(a\,;b) * (c\,;d) = (ac\,;0)$ est commutatif, associatif et distributif, mais il n’admet aucun élément neutre, et il n’est aucun des trois.

Le monde de $\mathbb{C}$ : les rotations

Multiplier par un complexe fixé, c’est faire subir au plan une similitude directe : les longueurs sont multipliées, les angles sont ajoutés. Ce dernier point est admis ici : c’est le chapitre C2 qui l’établira, avec le module et l’argument. La quantité conservée est, pour tout $z = a + ib$ avec $a \in \mathbb{R}$ et $b \in \mathbb{R}$ , le produit $z\overline{z} = a^2+b^2$ ; cette quantité est multiplicative, et les nombres vérifiant $z\overline{z} = 1$ forment le cercle unité : ce sont eux qui font tourner le plan sans le déformer.

Le monde des déployés : la relativité restreinte

Écrivons les déployés sous la forme $a + bj$ avec $j^2 = 1$ . La quantité analogue est, pour tous réels $a$ et $b$ ,

N(a+bj) = (a+bj)(a-bj) = a^2 - b^2 ,

et elle est encore multiplicative. En effet, pour tous réels $a$ , $b$ , $c$ , $d$ , le produit de $a+bj$ par $c+dj$ vaut $(ac+bd) + (ad+bc)\,j$ , dont la quantité $N$ est

(ac+bd)^2 - (ad+bc)^2 = a^2\left(c^2-d^2\right) - b^2\left(c^2-d^2\right) = \left(a^2-b^2\right)\left(c^2-d^2\right) .

Le signe moins change tout. Le lieu $a^2-b^2 = 1$ n’est plus un cercle mais une hyperbole, et les fonctions qui la paramètrent ne sont plus le cosinus et le sinus, mais leurs cousines hyperboliques : pour tout $t \in \mathbb{R}$ , $\cosh^2 t - \sinh^2 t = 1$ . Or, pour tous $t \in \mathbb{R}$ et $s \in \mathbb{R}$ ,

(\cosh t + j\sinh t)(\cosh s + j \sinh s) = \cosh(t+s) + j\,\sinh(t+s) ,

par les formules d’addition de $\cosh$ et $\sinh$ . Le paramètre $t$ s’ajoute exactement comme s’ajoutaient les angles dans $\mathbb{C}$ .

Ce paramètre porte un nom en physique : la rapidité. La transformation ci-dessus est celle de Lorentz, la quantité $a^2 - b^2$ est l’intervalle d’espace-temps de Minkowski en dimension $1+1$ , et les diviseurs de zéro, exactement les $a \pm aj$ avec $a \neq 0$ , se répartissent sur les droites $b = \pm a$ : le cône de lumière. Ce qui était dans l’exercice $21$ un défaut rédhibitoire devient ici l’objet le plus important du décor.

Le monde des duaux : la dérivation exacte

Écrivons cette fois les duaux sous la forme $a + b\varepsilon$ avec $\varepsilon^2 = 0$ . Voici leur propriété remarquable.

Théorème. Soit $f$ une fonction polynomiale à coefficients réels. Alors, pour tous $a \in \mathbb{R}$ et $b \in \mathbb{R}$ , $f(a + b\varepsilon) = f(a) + b\,f'(a)\,\varepsilon$ .

Démonstration. Soient $a \in \mathbb{R}$ et $b \in \mathbb{R}$ . Établissons d’abord le résultat pour les monômes, par récurrence sur $n \in \mathbb{N}^*$ : pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ , $(a+b\varepsilon)^n = a^n + n\,a^{n-1}b\,\varepsilon$ , avec la convention $a^0 = 1$ .

L’initialisation est immédiate : pour $n = 1$ , les deux membres valent $a + b\varepsilon$ .

Soit $n \in \mathbb{N}^*$ tel que $(a+b\varepsilon)^n = a^n + n\,a^{n-1}b\,\varepsilon$ . En multipliant par $a + b\varepsilon$ et en développant,

(a+b\varepsilon)^{n+1} = a^{n+1} + a^n b\,\varepsilon + n\,a^n b\,\varepsilon + n\,a^{n-1}b^2\,\varepsilon^2 .

Le dernier terme est nul puisque $\varepsilon^2 = 0$ , et il reste $a^{n+1} + (n+1)\,a^n b\,\varepsilon$ , ce qui achève la récurrence.

Le résultat est donc vrai pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ ; pour $n = 0$ , l’identité annoncée se lit $1 = 1$ , le monôme constant ayant une dérivée nulle. Elle s’étend par linéarité à toute combinaison de monômes, et le coefficient de $\varepsilon$ obtenu terme à terme est exactement $b$ fois la dérivée.

Prenez $b = 1$ et lisez le résultat : la valeur de $f$ et celle de $f'$ sortent ensemble d’un unique calcul, sans limite, sans taux d’accroissement. C’est le principe de la dérivation automatique, celle qu’emploient les bibliothèques d’apprentissage machine et les codes de calcul scientifique. À la différence d’une dérivée approchée par $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ , elle est exacte : aucune limite n’étant approchée, aucune erreur de troncature n’est commise, et il ne subsiste que les arrondis inhérents au calcul en virgule flottante.

Trois algèbres, trois trinômes

Refermons la boucle. Les trois mondes sont respectivement

\mathbb{R}[X]/\left(X^2+1\right) , \qquad \mathbb{R}[X]/\left(X^2-1\right) , \qquad \mathbb{R}[X]/\left(X^2\right) ,

et le nombre $\delta$ de la démonstration n’est rien d’autre que la valeur de $X^2$ dans le quotient. Tout se joue sur la façon dont le trinôme se factorise sur $\mathbb{R}$ : $X^2+1$ est irréductible, d’où un corps ; $X^2-1$ a deux racines distinctes, d’où des diviseurs de zéro, et l’application $(a\,;b) \mapsto (a+b\,;a-b)$ identifie même les déployés à $\mathbb{R} \times \mathbb{R}$ ; $X^2$ a une racine double, d’où un élément non nul de carré nul.

Le produit de $\mathbb{C}$ n’a donc rien d’un choix parmi d’autres : l’irréductibilité de $X^2+1$ sur $\mathbb{R}$ est la seule raison pour laquelle le plan peut devenir un corps.

Sources