La chaîne, l'anagramme et l'arche

Le devoir La chaîne et l’arc a démontré, calculs à l’appui, qu’un fil qui pend n’est pas une parabole, et que l’arche de Saint-Louis n’est pas tout à fait une chaînette. Il n’avait pas la place de raconter d’où viennent ces trois histoires. Les voici.

1646 : un garçon de dix-sept ans contre Galilée

En 1638, Galilée publie les Discours et démonstrations mathématiques concernant deux sciences nouvelles, l’œuvre de sa vieillesse, écrite en résidence surveillée. Il y traite de la résistance des matériaux, du mouvement des projectiles, et, au passage, d’une chaîne suspendue par ses deux bouts. Le texte rapproche cette courbe de la parabole, et c’est ce rapprochement qui va traverser un siècle de mathématiques.

Les historiens débattent encore de ce que Galilée croyait exactement : le passage peut se lire comme l’affirmation d’une identité, ou comme le constat d’une ressemblance commode pour tracer une trajectoire. Le fait est que la confusion s’installe.

Huit ans plus tard, en 1646, un adolescent de dix-sept ans écrit au père Marin Mersenne, la plaque tournante de la correspondance savante européenne. Il s’appelle Christiaan Huygens, il est né en 1629 à La Haye, et il explique, preuve à l’appui, que la chaîne pesante n’est pas une parabole.

Son argument ne demande aucune analyse : il repose sur l’équilibre des forces, et sur une distinction qui est exactement celle du devoir. Une charge répartie uniformément le long de l’horizontale donne une parabole. Une charge répartie uniformément le long du fil lui-même donne autre chose. Le premier cas, c’est le tablier d’un pont suspendu, dont le poids est celui de la chaussée, et Huygens le démontre. Le second, c’est la chaîne nue, dont le poids est celui de la chaîne. Un pont suspendu et une chaîne suspendue ne sont donc pas la même courbe, et l’on n’a pas le droit de conclure de l’un à l’autre.

Reste que l’adolescent démolit sans reconstruire. Il sait ce que la courbe n’est pas ; il ne sait pas ce qu’elle est. Il faudra attendre 1691, quarante-cinq ans plus tard, pour que la réponse arrive, en réponse à un défi lancé par Jacques Bernoulli. Trois solutions paraissent la même année dans les Acta Eruditorum, celles de Leibniz, de Jean Bernoulli et de Huygens lui-même, qui a alors soixante-deux ans. Le vieil homme referme le problème que l’adolescent avait ouvert. Peu de carrières mathématiques offrent une symétrie pareille.

1675 : une phrase enfermée dans un désordre de lettres

Pendant ce temps, à Londres, Robert Hooke tient un raisonnement d’une autre nature. Il ne cherche pas l’équation de la chaîne : il cherche à quoi elle sert.

Sa découverte tient en une phrase, et elle est décisive pour l’architecture. Mais nous sommes en 1675, dans un monde sans dépôt de brevet ni antériorité de publication, où Hooke passe son temps en querelles de priorité, notamment avec Newton. Il emploie donc le procédé courant à l’époque : publier sa découverte sous forme d’anagramme. La suite de lettres prouve la date ; le sens reste secret jusqu’au jour où l’auteur, menacé sur sa priorité, révélera l’arrangement.

À la fin de son opuscule A Description of Helioscopes, and Some Other Instruments, Hooke imprime donc une ligne de lettres classées par ordre alphabétique, la voici en entier :

abcccddeeeeefggiiiiiiiillmmmmnnnnnooprrsssttttttuuuuuuuux

Hooke ne l’a jamais déchiffrée de son vivant. Il meurt en 1703. C’est Richard Waller, secrétaire de la Royal Society et éditeur de ses œuvres posthumes, qui publie la solution en 1705 dans les Posthumous Works of Robert Hooke :

Ut pendet continuum flexile, sic stabit contiguum rigidum inversum.

Comme pend le fil flexible et continu, ainsi se tiendra, renversé, l’arc rigide et contigu.

Comptez les lettres, c’est instructif : la suite en contient cinquante-sept, la phrase latine aussi, et les deux comptes coïncident exactement à une nuance près. L’anagramme porte un u de plus et pas de v, parce qu’en latin U et V sont la même lettre : le $\texttt{v}$ d’inversum s’y écrit $\texttt{u}$. Le désordre était donc parfaitement vérifiable, pour qui savait déjà la réponse.

Trente ans dans un tiroir. La phrase dit tout : renversez la courbe d’un fil en traction pure, vous obtenez un arc en compression pure. C’est le principe de la maquette de Gaudí, deux siècles plus tard, et c’est aussi celui de l’arche de Saint-Louis. Notez ce que Hooke n’écrit pas : il ne dit pas quelle est la courbe. Il énonce la loi du renversement sans connaître l’objet renversé.

1947-1965 : six cents pieds d’acier au bord du Mississippi

En 1947, un concours est lancé pour un mémorial de l’expansion vers l’Ouest, sur la rive du Mississippi à Saint-Louis. Un architecte finlandais installé aux États-Unis, Eero Saarinen, y présente une arche d’acier inoxydable, haute et large de six cent trente pieds. Il remporte la phase finale en février 1948.

L’anecdote la plus racontée du concours veut que le télégramme annonçant la sélection ait été adressé par erreur à Eliel Saarinen, le père, architecte lui aussi et célèbre bien avant son fils. La famille aurait fêté la nouvelle, avant qu’une correction n’arrive quelques jours plus tard. Il fallut déboucher une seconde bouteille.

Saarinen ne verra jamais son arche. Il meurt en 1961, à cinquante et un ans, d’une tumeur au cerveau. Les travaux commencent en février 1963, sur la forme définitive mise au point par l’ingénieur structure Hannskarl Bandel avec l’architecte.

La construction procède par sections triangulaires creuses en acier inoxydable, empilées en porte-à-faux depuis chaque pied, sans échafaudage central : les deux jambes montent séparément et doivent se rejoindre en l’air. La tolérance est de l’ordre du millimètre sur cent quatre-vingt-douze mètres.

Le 28 octobre 1965, il reste à poser la dernière pièce, et le sommet ne veut pas s’ouvrir : le soleil du matin a dilaté la jambe sud, qui s’est refermée sur l’espace prévu. Les pompiers de Saint-Louis arrosent alors la jambe exposée pour la refroidir et la faire se contracter, pendant que des vérins hydrauliques écartent les deux extrémités. La clef de voûte entre. L’arche tient debout depuis.

La surprise du dossier officiel

C’est ici que le devoir a rejoint l’histoire. La ligne centrale de l’arche est décrite dans les documents de construction par

$A(x) = 693{,}8597 - 68{,}7672\,\cosh\!\left(0{,}0100333\,x\right), \qquad |x| \leqslant 299{,}2239 \ \text{pieds}.$

Une chaînette renversée pure s’écrit $\alpha - a\,\cosh\!\left(\frac{x}{a}\right)$, avec le même nombre $a$ devant le cosinus hyperbolique et à l’inverse du coefficient intérieur. Or $\frac{1}{0{,}0100333} \approx 99{,}67$, tandis que le coefficient extérieur vaut $68{,}77$. Les deux nombres ne coïncident pas : l’arche n’est pas une chaînette renversée au sens strict.

Ce n’est pas une erreur, c’est une nécessité physique. La chaînette est la forme d’équilibre d’une chaîne homogène. L’arche de Saint-Louis, elle, s’affine en montant : ses sections triangulaires passent de cinquante-quatre pieds de côté au sol à dix-sept au sommet. Elle est donc la forme d’équilibre d’une chaîne pondérée, dont les maillons s’allègent vers le milieu. Changez la répartition des masses, et vous sculptez la courbe : c’est exactement ce que faisait Gaudí en choisissant le poids de ses sachets de plomb.

Trois siècles séparent l’anagramme de Hooke de la clef de voûte de Saint-Louis. Entre les deux, une seule idée, énoncée en latin par un homme qui ne connaissait pas l’équation de sa propre courbe.

Les scripts du devoir

Deux scripts sont promis en annexe du devoir. Les voici en entier, prêts à exécuter.

La ligne polygonale. La longueur d’un arc de courbe ne se calcule pas à la main en terminale. On la mesure en remplaçant la courbe par mille segments et en sommant leurs longueurs, avec Pythagore et rien d’autre.

from math import cosh, hypot

def A(x):
    return 693.8597 - 68.7672 * cosh(0.0100333 * x)

def longueur(f, a, b, n=1000):
    pas = (b - a) / n
    total = 0.0
    for k in range(n):
        x0, x1 = a + k * pas, a + (k + 1) * pas
        total += hypot(x1 - x0, f(x1) - f(x0))
    return total

L = longueur(A, -299.2239, 299.2239)
print(round(L, 2), "pieds")          # 1480.28 pieds
print(round(L * 0.3048, 2), "m")     # 451.19 m

Mille segments suffisent largement : avec cinq cents on trouve déjà $1480{,}2784$, avec vingt mille $1480{,}2798$. La ligne centrale mesure donc environ quatre cent cinquante et un mètres de long, pour une hauteur $A(0) = 625{,}09$ pieds, soit cent quatre-vingt-dix mètres et demi. Les $630$ pieds, cent quatre-vingt-douze mètres, que donnent les brochures sont la hauteur de l’arche mesurée à l’extérieur de l’acier : la ligne centrale, elle, joint les centres des sections triangulaires.

La dichotomie du devoir. Pour trouver le point de l’arche situé à une hauteur donnée, on cherche le zéro d’une différence, sur une branche où la fonction est strictement monotone.

def dichotomie(f, a, b, eps=1e-9):
    while (b - a) / 2 > eps:
        m = (a + b) / 2
        if f(a) * f(m) <= 0:
            b = m
        else:
            a = m
    return (a + b) / 2

# abscisse (branche droite) ou l'arche atteint 300 pieds de haut
x = dichotomie(lambda t: A(t) - 300, 0, 299.2239)
print(round(x, 4), "pieds ->", round(A(x), 4), "pieds de haut")

Sources

• DM 1 du chapitre F2, La chaîne et l’arc, parties II à V ; Coulisses n°5, pièce 46.
• Robert Hooke, A Description of Helioscopes, and Some Other Instruments, Londres, 1675 ; la solution de l’anagramme paraît dans Richard Waller (éd.), The Posthumous Works of Robert Hooke, Londres, 1705.
• Galilée, Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze, Leyde, 1638. Sur la lettre de Huygens à Mersenne (1646) et les trois solutions de 1691 parues dans les Acta Eruditorum, voir les Œuvres complètes de Christiaan Huygens, éditées par la Société hollandaise des sciences.
• Sur l’équation de la ligne centrale de la Gateway Arch et son caractère de chaînette pondérée : Robert Osserman, « Mathematics of the Gateway Arch », Notices of the American Mathematical Society, vol. 57 (2010).