Ce que la preuve par neuf ne verra jamais

L’exercice 28 a démontré le mécanisme de la preuve par neuf, puis l’a piégé : le calcul faux $237 \times 46 = 10\,092$ passe le test sans broncher. On a pu croire à une malchance. C’est l’inverse : ce contre-exemple appartient à une famille très large, qui rassemble justement les erreurs les plus fréquentes.

Un test qui ne peut que réfuter

Disons dans la langue de la logique ce que l’exercice a établi. La preuve par neuf garantit une implication, et une seule :

$\text{si le calcul est juste, alors le test réussit.}$

Le test qui réussit est donc une condition nécessaire pour que le calcul soit juste, et non une condition suffisante. Autrement dit : un échec prouve avec certitude que le calcul est faux, une réussite ne prouve rien du tout. Un outil qui réfute sans jamais confirmer reste un outil, à condition de savoir ce qu’il fait.

La famille des erreurs invisibles

La preuve par neuf ne voit d’un nombre que son reste dans la division par $9$. Tout ce qui laisse ce reste inchangé lui échappe.

Les inversions de chiffres. Échanger deux chiffres ne change pas leur somme, donc ne change pas le reste. Le contre-exemple de l’exercice n’est rien d’autre que cela : dans $10\,902$, le $9$ et le $0$ qui le suit ont été échangés. Or l’inversion de deux chiffres est l’erreur de recopie la plus courante qui soit. Le filet est troué exactement là où passe le poisson.

Les erreurs qui valent un multiple de neuf. Se tromper de $9$, de $18$, de $90$ est invisible. Cas commode à retenir : écrire un $0$ à la place d’un $9$, ou l’inverse. Le faux résultat $10\,002$ passe lui aussi.

Les erreurs d’ordre de grandeur. Ajouter un zéro à la fin ne touche pas à la somme des chiffres. Le résultat $109\,020$, dix fois trop grand, passe donc le test : la preuve par neuf ne dit rien de la taille du résultat, ce qui est fâcheux pour un outil de marchand.

Si les résultats faux se répartissaient au hasard, un sur neuf environ tomberait sur le bon reste, soit à peu près $11\,\%$. Mais les erreurs humaines ne sont pas au hasard : les trois familles ci-dessus passent le test non pas une fois sur neuf, mais à tous les coups.

Le remède ancien : la preuve par onze

Les calculateurs médiévaux connaissaient la faille, et la parade : l’idée de l’exercice 16, avec un autre diviseur.

Si le neuf fonctionne, c’est que toute puissance de $10$ laisse le reste $1$ dans la division par $9$ : chaque chiffre compte alors pour lui-même, d’où la somme des chiffres. Avec $11$, les puissances de $10$ laissent alternativement les restes $1$ et $10$, en commençant par $1$ pour les unités, et laisser le reste $10$ revient à retrancher $1$. Ce n’est donc plus la somme des chiffres qu’il faut former, mais la somme alternée, en partant des unités et en changeant de signe à chaque rang.

Voyons-la travailler sur le contre-exemple. Pour le résultat correct,

$2 - 0 + 9 - 0 + 1 = 12,$

et $12$ laisse le reste $1$ dans la division par $11$. Pour le faux résultat $10\,092$,

$2 - 9 + 0 - 0 + 1 = -6,$

ce qui donne le reste $5$. Du côté des facteurs, $237$ laisse le reste $6$ et $46$ le reste $2$, dont le produit $12$ laisse à son tour le reste $1$. Le compte est bon pour le vrai résultat et faux pour le faux : la preuve par onze voit ce que la preuve par neuf ne voyait pas. Parce que les rangs alternent, deux chiffres voisins échangés ne donnent plus le même total.

Où cette idée vit encore

La preuve par neuf a disparu des cartables, mais son principe est dans votre poche.

Un numéro de compte au format IBAN porte deux chiffres qui ne servent qu’au contrôle : ils sont calculés pour que le numéro entier laisse le reste $1$ dans la division par $97$. Le numéro de sécurité sociale français a de même une clé valant $97$ diminué du reste du numéro dans la division par $97$. Un code-barres, un numéro de carte, un identifiant de colis : tous portent un chiffre de contrôle de cette famille.

Et tous ont retenu la leçon du neuf. On ne se contente jamais d’additionner les chiffres : on affecte à chaque position un poids différent, comme le fait l’alternance des signes de la preuve par onze. C’est ainsi que l’on repère les inversions, cette erreur si humaine qui traversait le neuf sans être vue.

Un mot sur son histoire, puisqu’elle a sa légende

L’Atelier la fait venir de l’Inde et passer par Bagdad : c’est le récit traditionnel, et l’histoire réelle est moins nette. Réduire un nombre à un seul chiffre est bien plus ancien que l’usage de vérification : Hippolyte de Rome décrit l’opération au $\text{III}^{\text{e}}$ siècle, mais pour calculer sur les lettres des noms, pas pour contrôler un produit. Du côté indien, le plus ancien texte conservé qui la donne comme vérification est le Mahāsiddhānta d’Āryabhaṭa II, autour du $\text{X}^{\text{e}}$ siècle. Le relais européen, lui, est solidement établi : Fibonacci, dans son Liber abaci de 1202, expose côte à côte les preuves par $7$, par $9$ et par $11$.

Un test qui réfute sans jamais confirmer, transmis pendant huit siècles, puis remplacé par des clés qui font le même travail en mieux : la preuve par neuf n’a jamais rien démontré, et elle a rendu d’immenses services.

Sources

• Exercices 16 et 28 de l’Atelier A1.
• Hippolyte de Rome, Réfutation de toutes les hérésies, livre IV : plus ancienne description connue de la réduction des chiffres.
• Leonardo Fibonacci, Liber abaci, Pise, 1202.
• Sur les clés de contrôle : norme ISO 13616 pour l’IBAN, et la clé du numéro d’inscription au répertoire tenu par l’INSEE.