Seconde · A1
2nde

A1 · Algebre

A1 · Nombres et calcul

Des entiers aux réels : ce que l'on peut écrire, et ce que l'on ne pourra jamais

« Si l'on suppose la diagonale commensurable au côté, les nombres impairs deviennent égaux aux nombres pairs. »

— Aristote, Premiers Analytiques, I, 23 (IVe siècle avant notre ère)

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Trois idées clés

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  • •Un nombre décimal s'écrit $\dfrac{a}{10^{n}}$ : son écriture décimale s'arrête
  • •Un nombre rationnel est un quotient de deux entiers ; son écriture s'arrête ou se répète indéfiniment
  • •Un nombre irrationnel est un réel qui n'est pas rationnel : $\sqrt{2}$ en est un, et ce chapitre le démontre
ACT-2NDE-A1 Quels nombres la calculatrice sait-elle écrire ? Quatre phases à mener seul, où six écritures passent au banc d'essai et où un nombre finit par résister
COURS-2NDE-A1 L'ouverture et les sections 1 et 2 : la tablette YBC 7289 et sa presque racine de deux, les identités remarquables, puis multiples, diviseurs et parité, écrits avec une lettre
Phase 2 · ~10-15 min

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Teste tes connaissances et pratique les methodes

✍️
L'essentiel en cinq questions
5 questions · ~4 min · ★★
Identités, racines, décimaux et la chaîne des ensembles
✍️
Le tour complet du chapitre
15 questions · ~12 min · ★★★
QCM, vrai ou faux, chasse à l'erreur, associations
✍️
Les automatismes, sans calculatrice
10 questions · ~7 min · ★★
Les gestes de calcul que l'on doit poser sans réfléchir
EXO-2NDE-A1 L'Atelier : trente exercices en six parties, du facteur commun qui se cache à la quantité conjuguée, puis trois histoires pour le plaisir
EXO-2NDE-A1-CORR Le corrigé détaillé des trente exercices, défis étoilés compris
Phase 3 · ~5-10 min

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Consolide l'essentiel avec les formules et flashcards

Formules essentielles

Memento
Carré d'une somme
$(a+b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2} \quad (a, b \text{ réels})$
Carré d'une différence
$(a-b)^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2} \quad (a, b \text{ réels})$
Différence de deux carrés
$(a+b)(a-b) = a^{2} - b^{2} \quad (a, b \text{ réels})$
Puissances : produit et quotient
$x^{m}x^{n} = x^{m+n} \;\; \dfrac{x^{m}}{x^{n}} = x^{m-n} \;\, (x \neq 0)$
Exposant négatif
$x^{-n} = \dfrac{1}{x^{n}} \quad (x \text{ non nul})$
Racine d'un produit
$\sqrt{ab} = \sqrt{a}\,\sqrt{b} \quad (a \text{ et } b \text{ positifs})$
La racine d'une somme : le piège
$\sqrt{a+b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}$
Multiple, écrit avec une lettre
$b \text{ multiple de } a : b = ka \text{ avec } k \text{ entier}$
Pair et impair
$n = 2k \quad \text{ou} \quad n = 2k+1 \quad (k \text{ entier})$
Nombre décimal
$\mathbb{D} : x = \dfrac{a}{10^{n}} \;\, (a \text{ entier}, n \text{ naturel})$
La chaîne des ensembles
$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$
Nombre rationnel
$\mathbb{Q} : x = \dfrac{p}{q} \;\, (p, q \text{ entiers}, q \neq 0)$
Flashcards · définitions, gestes et pièges du chapitre
Reviser
FICHE-2NDE-A1 La carte mentale à quatre branches, les cinq gestes du chapitre, la chaîne des ensembles et la bande des pièges qui coûtent des points
COURS-2NDE-A1 Les cinq démonstrations à savoir refaire, et la section 3 sur les écritures qui s'arrêtent ou qui se répètent

Automatismes : le cahier de calcul

Projet Cahier de calcul (coord. Colas Bardavid), consultable sur le site des auteurs.

Phase 4

Aller plus loin

Ressources complementaires et approfondissement

Les réponses des blocs « À vous »
Les dix réponses des cinq blocs à trous du cours, rédigées comme elles doivent l'être. Le cours ne les donne nulle part ailleurs : cherchez d'abord, comparez ensuite.
Vrai ou légende : Hippase jeté à la mer
Celui qui aurait découvert l'irrationalité a-t-il vraiment péri en mer pour l'avoir dite ? Ce que portent les sources, ce qu'elles ne portent pas, et à quelle distance des faits se tient la légende.
La preuve par neuf, qui n'en est pas une
Le prolongement de l'exercice 28 : pourquoi ce test repère des erreurs sans jamais démontrer qu'un calcul est juste, et tout ce qu'il laisse passer sans rien dire.
Approcher l'inapprochable : Théon et Ahmès
Les exercices 29 et 30 réunis : l'échelle qui approche $\sqrt{2}$ par des fractions de mieux en mieux ajustées, et les pains d'Ahmès partagés en fractions unitaires. Deux manières anciennes de serrer un nombre que l'on ne peut pas écrire.
Les flottants, ou pourquoi la machine ment
Sur un ordinateur, $0{,}1 + 0{,}2$ ne fait pas tout à fait $0{,}3$. Ce que la norme IEEE 754 range réellement dans la mémoire, et comment l'écriture binaire retrouve, à l'identique, le problème du chapitre.

Le signe de la racine carrée apparaît chez Christoff Rudolff en 1525 ; la barre horizontale, celle qui dit jusqu'où il porte, n'est ajoutée par Descartes qu'en 1637. Il aura donc fallu plus d'un siècle pour savoir où s'arrête une racine.

Note historique

DM1-2NDE-A1 Le pli de Lichtenberg : pourquoi une feuille A4 se plie en deux sans changer de forme, et ce que $\sqrt{2}$ vient y faire. Entièrement facultatif