A2 · Algebre

A2 · Ordre, intervalles et valeur absolue

Ce que veut dire « assez proche », et comment l'écrire

« Elle consiste à faire chaque pièce si exactement semblable que celle qui appartient à l'un peut servir à tous les autres fusils du magasin. »

— Thomas Jefferson, lettre à John Jay, Paris, 30 août 1785 (traduit de l'anglais)

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Phase 1 · ~5-10 min

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Trois idées clés

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•Comparer deux nombres, c'est déterminer le signe de leur différence : la méthode démontre là où une valeur approchée se contente de suggérer
•Encadrer un réel, c'est l'enfermer entre deux bornes ; l'amplitude de l'encadrement dit de combien au plus on se trompe en retenant l'une d'elles
•$|x-a|$ est la distance entre les points d'abscisses $x$ et $a$ : pour $r$ positif, dire $|x-a| \leqslant r$ revient à dire que $x$ est dans $[a-r\,;a+r]$

ACT-2NDE-A2 Le ballon monte, la température descend : quatre phases à mener seul, deux copies d'élèves qui se contredisent, et une règle à écrire à partir de l'erreur de l'une des deux

COURS-2NDE-A2 L'ouverture et les sections 1 et 2 : l'atelier de 1785 où Jefferson assemble au hasard les pièces de cinquante platines de fusil, le signe d'une différence, le renversement par un facteur strictement négatif, puis les quatre crochets

Phase 2 · ~10-15 min

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Teste tes connaissances et pratique les methodes

✍️

L'essentiel en cinq questions

5 questions · ~4 min · ★★

Comparaisons, encadrements, crochets et valeur absolue

✍️

Le tour complet du chapitre

15 questions · ~12 min · ★★★

QCM, vrai ou faux, chasse à l'erreur, associations

✍️

Les automatismes, sans calculatrice

10 questions · ~8 min · ★★

Les gestes de calcul que l'on doit poser sans réfléchir

EXO-2NDE-A2 L'Atelier : trente exercices en six parties, du signe d'une différence au ruban d'une tolérance de fabrication, puis cinq histoires pour le plaisir

EXO-2NDE-A2-CORR Le corrigé détaillé des trente exercices, défis étoilés compris

Phase 3 · ~5-10 min

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Consolide l'essentiel avec les formules et flashcards

Formules essentielles

Memento

Comparer par la différence

$a \leqslant b : b - a \text{ est positif}$

Ajouter un même nombre

$a \leqslant b : a + c \leqslant b + c \;\, (c \text{ réel})$

Multiplier : le sens peut se renverser

$k > 0 : ka \leqslant kb \qquad k < 0 : kb \leqslant ka \;\, (a \leqslant b)$

Encadrement et amplitude

$u \leqslant x \leqslant v \quad \text{amplitude } v - u$

Encadrer à la n-ième décimale

$d \leqslant x \leqslant d + 10^{-n} \;\, (d \text{ décimal à } n \text{ décimales})$

Troncature et arrondi

$\pi \text{ à } 10^{-3} : \text{troncature } 3{,}141 \quad \text{arrondi } 3{,}142$

Les quatre intervalles

$[a\,;b] \quad ]a\,;b[ \quad [a\,;b[ \quad ]a\,;b] \;\, (a \leqslant b)$

L'infini, toujours exclu

$]-\infty\,;b] \quad [a\,;+\infty[ \quad \text{crochet ouvert du côté de l'infini}$

Valeur absolue, par cas

$|x| = x \text{ si } x \geqslant 0 \quad |x| = -x \text{ si } x < 0$

Racine d'un carré

$\sqrt{a^{2}} = |a| \quad (a \text{ réel})$

Distance sur la droite graduée

$|x - a| : \text{distance des points d'abscisses } x \text{ et } a$

Le ruban : distance et intervalle

$|x - a| \leqslant r \text{ revient à dire } x \in [a-r\,;a+r] \;\, (r \text{ positif})$

Flashcards · définitions, gestes et pièges du chapitre

Reviser

FICHE-2NDE-A2 La carte mentale à quatre branches, les six gestes du chapitre, les quatre crochets, le ruban, et la bande des pièges qui coûtent des points

COURS-2NDE-A2 Les deux démonstrations à savoir refaire, le renversement de l'inégalité et $\sqrt{a^{2}} = |a|$, et la section 3 à relire jusqu'à la clôture « Assez proche »

Automatismes : le cahier de calcul

Projet Cahier de calcul (coord. Colas Bardavid), consultable sur le site des auteurs.

Phase 4

Aller plus loin

Ressources complementaires et approfondissement

Les réponses des blocs « À vous »

Les douze réponses des six couples de jumeaux du cours, rédigées comme elles doivent l'être, et la réponse au défi laissé en marge, celui qui compare $|a+b|$ à $|a| + |b|$. Le cours ne les donne nulle part ailleurs : cherchez d'abord, comparez ensuite.

Vancouver : la dérive, chiffrée

Le prolongement de l'exercice 29 : une troncature au millième qui se trompe toujours du même côté, trois mille fois par jour, pendant vingt-deux mois. Le calcul additif tombe pourtant loin de la dérive constatée, et savoir pourquoi vaut le détour.

Johansson et la NASA

Le prolongement des exercices 26 et 27 : comment $102$ blocs d'acier suffisent à composer près de trente mille longueurs, et pourquoi quinze décimales de $\pi$ suffisent à piloter une sonde partie depuis cinquante ans.

Archimède et la médiante de l'horloger

Le prolongement des exercices 28 et 30 : ce qu'est devenue la méthode des polygones inscrits et circonscrits après les quatre-vingt-seize côtés, et l'arbre de Stern et Brocot qui se cache derrière la médiante d'un horloger parisien.

Dedekind, après la coupure

Le prolongement du DM : comment additionner deux nombres lorsqu'on n'a plus sous la main que des paquets de rationnels, pourquoi Dedekind a laissé passer quatorze ans avant de publier, et ce que veut dire au juste « infiniment plus nombreux ».

Les pays anglophones écrivent $(a,b)$ l'intervalle ouvert que nous notons $]a\,;b[$, et la norme internationale ISO 80000-2 admet les deux conventions. Le crochet retourné a pourtant un mérite que la parenthèse n'a pas : il évite la collision avec le couple de coordonnées, qui s'écrit lui aussi entre parenthèses et que vous rencontrerez bientôt.

Note de notation

DM1-2NDE-A2 La coupure : Zurich, 24 novembre 1858, on partage les rationnels en deux paquets et l'on découvre qu'un partage peut n'avoir aucune frontière rationnelle. Entièrement facultatif