Seconde · A3
2nde

A3 · Algebre

A3 · Équations et inéquations du premier degré

Ce qu'on a le droit de faire subir au signe égal

« Pour éviter la fastidieuse répétition de ces mots, « est égal à », je poserai une paire de parallèles, ou lignes jumelles de même longueur, parce que deux choses ne sauraient être plus égales. »

— Robert Recorde, The Whetstone of Witte, Londres, 1557 (traduit de l'anglais)

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Trois idées clés

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  • •Résoudre, c'est trouver toutes les solutions : une résolution se conclut donc toujours par l'ensemble $S$, écrit en entier, jamais par un nombre posé seul en fin de calcul
  • •Deux équations sont équivalentes quand elles ont le même ensemble $S$ : seuls les gestes qui ont un chemin du retour, ajouter un réel et multiplier par un réel non nul, le garantissent
  • •Un produit est nul quand l'un au moins de ses facteurs l'est, un quotient quand son numérateur l'est sans que son dénominateur le soit
ACT-2NDE-A3 La solution disparue : un magicien devine votre nombre à coup sûr, puis son tour rate devant tout le monde et une équation perd une solution en route. Quatre phases à mener seul pour instruire le procès du geste coupable, avant que le cours ne donne le moindre outil
COURS-2NDE-A3 L'ouverture et le paragraphe 1 : Londres 1557, Recorde trace deux traits jumeaux parce que deux choses ne sauraient être plus égales, puis les gestes qui conservent l'ensemble $S$, les deux trahisons qui leur ressemblent, les inéquations et la mise en équation
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Teste tes connaissances et pratique les methodes

✍️
L'essentiel en cinq questions
5 questions · ~4 min · ★★
Gestes légaux, équivalence, produit nul et valeur interdite
✍️
Le tour complet du chapitre
15 questions · ~15 min · ★★★
QCM, vrai ou faux, chasse à l'erreur, associations
✍️
Les automatismes, sans calculatrice
10 questions · ~8 min · ★★
Les gestes de calcul que l'on doit poser sans réfléchir
EXO-2NDE-A3 L'Atelier : trente exercices en six parties, de ce que dit le signe au détour par zéro, en passant par l'ordre sous contrôle et la mise en équation, puis quatre histoires pour le plaisir
EXO-2NDE-A3-CORR Le corrigé détaillé des trente exercices, défis étoilés compris
Phase 3 · ~5-10 min

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Consolide l'essentiel avec les formules et flashcards

Formules essentielles

Memento
Équations équivalentes
$E_1 \iff E_2 : \text{même ensemble } S$
Conclure toujours par l'ensemble
$S = \{4\} \quad S = [2\,;+\infty[ \quad S = \mathbb{R} \quad \text{aucune solution}$
Geste sûr : ajouter
$A = B \iff A + c = B + c \;\, (c \text{ réel})$
Geste sûr : multiplier
$A = B \iff cA = cB \;\, (c \text{ non nul})$
Les deux gestes traîtres
$\times\, 0 : \text{solutions en trop} \qquad \div\, x : \text{solutions perdues}$
La forme visée du premier degré
$ax = b \iff x = \dfrac{b}{a} \;\, (a \text{ non nul})$
Produit nul
$uv = 0 \iff u = 0 \text{ ou } v = 0 \;\, (u \text{ et } v \text{ réels})$
Un carré égale un nombre
$x^{2} = a \iff x = \sqrt{a} \text{ ou } x = -\sqrt{a} \;\, (a > 0)$
Quotient nul
$\dfrac{A(x)}{B(x)} = 0 \iff A(x) = 0 \text{ et } B(x) \neq 0$
Valeur interdite
$B(x) = 0 : x \text{ interdit, jamais dans } S$
Diviser : le sens peut se renverser
$a > 0 : x \leqslant \dfrac{b}{a} \qquad a < 0 : x \geqslant \dfrac{b}{a} \;\, (ax \leqslant b)$
L'ensemble d'une inéquation
$x < -2 : S = \;]-\infty\,;-2[ \qquad x \geqslant 3 : S = [3\,;+\infty[$
Flashcards · définitions, gestes et pièges du chapitre
Reviser
FICHE-2NDE-A3 La carte mentale à quatre branches, les sept gestes du chapitre, les trois visages de $x^{2} = a$, le poste de contrôle du quotient, et la bande des pièges qui coûtent des points
COURS-2NDE-A3 Les deux démonstrations à savoir refaire, les gestes légaux et leur chemin du retour, le produit nul par disjonction des cas, et la clôture « Deux traits parallèles » jusqu'au chantier laissé ouvert pour A4

Automatismes : le cahier de calcul

Projet Cahier de calcul (coord. Colas Bardavid), consultable sur le site des auteurs.

Phase 4

Aller plus loin

Ressources complementaires et approfondissement

Les réponses des blocs « À vous »
Les réponses des cinq couples de jumeaux du cours, celle du jumeau qui isole l'intensité dans la loi d'Ohm, et la réponse au défi laissé en marge, celui où diviser par $(x+1)$ efface une solution. Le cours ne les donne nulle part ailleurs : cherchez d'abord, comparez ensuite.
Le signe le plus long du monde
Le prolongement de l'ouverture et de la clôture : pourquoi les deux traits de 1557 étaient bien plus longs que les nôtres, ce qu'il est advenu de Recorde l'année suivante, le symbole rival que Descartes employait encore quatre-vingts ans plus tard, et le siècle qu'il a fallu à deux parallèles pour s'imposer.
La suite des méthodes qui devinent
Le prolongement du DM : ce que sont devenues les fausses positions après Ahmès, Les Neuf Chapitres et le Liber Abaci, et pourquoi une méthode vieille de trois mille cinq cents ans, qui part exprès d'une réponse fausse, travaille encore dans les calculs d'aujourd'hui.
La regula falsi en machine
Le script que le DM ne pouvait pas porter : la double fausse position programmée, ce qu'elle donne quand on la relance sur son propre résultat, et le nombre de tours qu'il lui faut pour chiffrer $\sqrt{7}$ à la décimale voulue.
Brahmagupta, Bhaskara et l'interdit
Le prolongement de la valeur interdite : en 628, Brahmagupta écrit les règles du zéro et pose que $0$ divisé par $0$ vaut $0$ ; vers 1150, Bhaskara nomme le résultat d'une division par zéro et le déclare infini. Pourquoi aucune des deux définitions ne tient, et ce que les mathématiques ont choisi à la place.

Le « ou » des mathématiques est inclusif : dire que l'un au moins des deux facteurs est nul n'interdit pas qu'ils le soient tous les deux à la fois. Le français courant l'entend souvent autrement, « fromage ou dessert » excluant d'avoir les deux, et c'est cette habitude, bien plus que le symbole, qui fait perdre des solutions au moment de conclure.

Note de notation

DM1-2NDE-A3 Deviner faux : Thèbes, vers 1550 avant notre ère. Trois mille cinq cents ans de bonnes réponses obtenues par des essais faux, d'Ahmès à la machine, jusqu'à chiffrer $\sqrt{7}$. Entièrement facultatif, et sans corrigé