P1 · Probabilites

P1 · Information chiffrée

Proportions et évolutions : ce que les pourcentages disent vraiment

« Trois choses sont nécessaires à qui veut mener commerce avec diligence : de l'argent comptant ou du crédit, un bon calculateur, et de l'ordre dans ses comptes. »

— Luca Pacioli, Summa de arithmetica, Venise, 1494 (traduit, abrégé)

Documents papier distribues en classe

Ou j'en suis ?

Decouvrir

Je decouvre le chapitre pour la premiere fois

S'entrainer

J'ai lu le cours, je veux pratiquer

Reviser

Je revise pour l'evaluation

Phase 1 · ~5-10 min

Decouvrir

Explore les concepts cles du chapitre pour la premiere fois

Trois idées clés

Voir les cartes →

•Un pourcentage ne dit rien tant qu'on n'a pas dit de quel tout il parle : c'est la première question à lui poser, avant même « combien ? »
•Le symbole \% exerce deux métiers : il photographie (une proportion, une partie dans un tout au même instant) ou il filme (une évolution, une valeur d'après comparée à une valeur d'avant)
•Toute évolution est une multiplication déguisée : évoluer au taux $t$, c'est multiplier par $1+t$, et c'est pourquoi deux évolutions s'enchaînent par un produit et se défont par une division

ACT-2NDE-P1 L'étiquette barrée : une vitrine annonce $-30$ \%, la caisse ajoute $-20$ \% supplémentaires, et un client de la file en conclut que tout est à moitié prix. Quatre phases à mener seul pour établir ce que deux remises font vraiment à un prix, avant que le cours ne donne le moindre outil

COURS-2NDE-P1 L'ouverture et le paragraphe 1 : Paris, 10 avril 1954, Maurice Lauré fait naître la TVA, et une commerçante qui enlève $20$ \% d'un prix TTC ne retrouve pas son prix hors taxe. Puis la proportion et ses trois écritures, la part d'une part que le mot « parmi » commande, et les deux métiers du symbole

Phase 2 · ~10-15 min

S'entrainer

Teste tes connaissances et pratique les methodes

✍️

L'essentiel en cinq questions

5 questions · ~4 min · ★★

Proportion, part d'une part, taux, coefficient et réciproque

✍️

Le tour complet du chapitre

15 questions · ~15 min · ★★★

QCM, vrai ou faux, chasse à l'erreur, points de pourcentage

✍️

Les automatismes, sans calculatrice

10 questions · ~8 min · ★★

Les deux blocs du programme : proportions et pourcentages, évolutions et variations

EXO-2NDE-P1 L'Atelier : quinze exercices en six parties, de la partie dans le tout à l'évolution réciproque, avec un dossier de données réelles de l'Insee où aucune question n'annonce son geste, et Venise 1494 pour finir

EXO-2NDE-P1-CORR Le corrigé détaillé des quinze exercices : huit questions rédigées comme une copie idéale, la stratégie et le calcul complet partout ailleurs

Phase 3 · ~5-10 min

Reviser

Consolide l'essentiel avec les formules et flashcards

Formules essentielles

Memento

Proportion

$p = \dfrac{n}{N} \quad (0 \leqslant p \leqslant 1)$

Les trois écritures

$\dfrac{7}{20} = 0{,}35 = 35\,\%$

Partie, tout, proportion

$\text{partie} = \text{proportion} \times \text{tout}$

Part d'une part

$p \times q \text{ du tout de départ}$

Variation absolue

$V_2 - V_1 \quad (V_1 \text{ départ}, \; V_2 \text{ arrivée})$

Taux d'évolution

$t = \dfrac{V_2 - V_1}{V_1} \quad (V_1 > 0)$

Coefficient multiplicateur

$\text{CM} = \dfrac{V_2}{V_1} = 1 + t \quad (V_1 > 0)$

De la phrase au calcul

$+8\,\% : \times\, 1{,}08 \qquad -12\,\% : \times\, 0{,}88$

Évolutions successives

$k_1 \times k_2 \quad \text{et jamais } t_1 + t_2$

Taux global

$t = k_1 \times k_2 - 1$

Évolution réciproque

$\times\, \dfrac{1}{k} \quad (k \text{ non nul})$

Points de pourcentage

$30\,\% \to 39\,\% : +9 \text{ points}, +30\,\%$

Flashcards · définitions, formules, méthodes et pièges du chapitre

Reviser

FICHE-2NDE-P1 La carte mentale à quatre branches, les cinq gestes du chapitre, le tableau qui traduit la phrase en calcul, la droite des coefficients, l'aller-retour qui ne revient pas au départ, et la bande des pièges qui coûtent des points

COURS-2NDE-P1 Les quatre « Pourquoi » à savoir redire avec ses mots, les cinq méthodes et leurs jumeaux, et la clôture « Le ticket et l'étiquette » où la commerçante de 1954 et le client de la file d'attente se révèlent faire la même erreur

Automatismes : le cahier de calcul

Projet Cahier de calcul (coord. Colas Bardavid), consultable sur le site des auteurs.

Phase 4

Aller plus loin

Ressources complementaires et approfondissement

Les réponses des blocs « À vous »

Les réponses des six jumeaux du cours, rédigées comme des copies modèles : le lycée dont on cherche l'effectif, les romans policiers de la médiathèque, la place de cinéma, la licence de club qui baisse, l'action qui gagne puis perd, et le carburant d'avant la hausse. Le cours ne les donne nulle part ailleurs : cherchez d'abord, comparez ensuite.

Les titres de presse disséqués

La promesse de la clôture du cours : quelques titres du genre de ceux que l'on croise chaque jour, passés au calcul. Les points de pourcentage qui se déguisent en pourcentages, la baisse de la hausse, l'aller-retour qui ne revient jamais au départ, et les pourcentages dont personne ne dit de quoi ils sont le pourcentage.

L'indice des prix depuis 1914

Ce que le cours a laissé de côté, faute de place : un indice n'est rien d'autre qu'un coefficient multiplicateur déguisé. Comment l'Insee suit le prix d'un panier depuis 1914, pourquoi la base a changé neuf fois, et pourquoi l'inflation cumulée n'est pas la somme des inflations annuelles.

Pacioli et la règle des 72

Le prolongement de l'exercice 15 : qui était le franciscain de Venise qui consigna, en 1494, une recette pour savoir en combien d'années un capital double. Pourquoi 72 plutôt que 69, quelles règles existent pour tripler ou quadrupler, et pourquoi la démonstration complète attend la terminale.

L'étiquette et le grand magasin

Le prolongement de l'activité : le jour où le prix a cessé de se marchander pour s'afficher, fixe, sur une étiquette que chacun pouvait lire. Ce que ce geste a changé, et pourquoi la remise en pourcentage, la seconde démarque et toute la rhétorique des soldes en découlent directement.

Un point de pourcentage et un pourcentage ne mesurent pas la même chose. Quand un taux passe de $30$ \% à $39$ \%, il gagne $9$ points, ce qui est une simple soustraction ; mais il augmente de $30$ \%, ce qui rapporte ces $9$ points à la valeur de départ. Les deux phrases sont exactes, et la seconde paraît toujours plus spectaculaire, parce que son référent est plus petit. La presse confond les deux presque chaque semaine.

Note de vocabulaire