Les réponses des six « À vous » du cours

Chacune des cinq méthodes du cours est suivie d’un bloc « À vous ». La méthode M3, celle qui fait le pont entre la phrase et le coefficient, en compte deux à elle seule : six jumeaux en tout, et aucune réponse dans le PDF. Ce qui suit reprend exactement là où l’énoncé s’arrête.

Un conseil avant de lire : ces réponses ne servent qu’après avoir cherché. Une réponse lue n’apprend rien, une réponse comparée à la vôtre apprend beaucoup. Chacune est une rédaction modèle : la relation est posée avant tout calcul, le résultat est contrôlé, et une phrase nomme le référent.

M1 · Retrouver le tout

Dans un autre établissement, $45$ élèves sont délégués de classe, soit $5$ % de l’effectif total. Combien ce lycée compte-t-il d’élèves ? Le tout $N$ est la quantité cherchée, et la relation est déjà écrite :

$45 = 0{,}05 \times N.$

Le coefficient $0{,}05$ est non nul : on peut diviser les deux membres par $0{,}05$, et ce geste est réversible, comme au chapitre A3.

$N = \dfrac{45}{0{,}05} = 900.$

Contrôle. La proportion $0{,}05$ est bien comprise entre $0$ et $1$, et la partie, $45$, ne dépasse pas le tout, $900$. Dans le sens direct : $0{,}05 \times 900 = 45$.

Réponse : ce lycée compte $900$ élèves.

M2 · La part d’une part

Dans une médiathèque, $30$ % des ouvrages sont des romans ; parmi eux, $20$ % sont des romans policiers. Quelle proportion des ouvrages de la médiathèque les romans policiers représentent-ils ? Le tout de la phrase entière est le fonds de la médiathèque, avec la proportion $0{,}3$ ; le mot « parmi » ouvre un second tout, les romans, avec la proportion $0{,}2$. Les deux proportions se multiplient :

$0{,}3 \times 0{,}2 = 0{,}06.$

Contrôle. Le produit est plus petit que chacun des deux facteurs : une part d’une part ne peut pas peser plus que la part qui la contient. La phrase de conclusion doit nommer le tout de départ, sans quoi le $6$ % ne veut plus rien dire.

Réponse : les romans policiers représentent $6$ % des ouvrages de la médiathèque.

M3 · De la phrase au coefficient, et retour

(a) Une place de cinéma à $7{,}50$ euros augmente de $4$ %. Le taux et le coefficient sont écrits, $t = 0{,}04$ et $\text{CM} = 1{,}04$. Reste à multiplier la valeur de départ par ce coefficient :

$7{,}50 \times 1{,}04 = 7{,}80.$

Contrôle. La hausse elle-même vaut $0{,}04 \times 7{,}50 = 0{,}30$ euro, et $7{,}50 + 0{,}30 = 7{,}80$ : les deux chemins, l’additif et le multiplicatif, se rejoignent.

Réponse : après la hausse, la place de cinéma coûte $7{,}80$ euros.

(b) Une licence de club sportif passe de $75$ euros à $69$ euros. Rien n’est fait, et c’est le seul jumeau du cours dans ce cas. Le réflexe à prendre est le suivant : ici, aucun taux n’est donné, on ne peut donc pas partir de $\text{CM} = 1 + t$. On part des deux valeurs, dans l’ordre où le cours les définit, la valeur d’arrivée sur la valeur de départ :

$\text{CM} = \dfrac{V_2}{V_1} = \dfrac{69}{75} = 0{,}92.$

Le coefficient est plus petit que $1$ : c’est donc une baisse. Il ne reste qu’à le relire en taux, en écrivant $0{,}92 = 1 - 0{,}08$, ce qui donne $t = -0{,}08$.

Contrôle. Par la définition du taux d’évolution, on retrouve la même valeur :

$t = \dfrac{69 - 75}{75} = \dfrac{-6}{75} = -0{,}08.$

Réponse : la licence a baissé de $8$ %. Notez le piège évité : la variation absolue vaut $6$ euros, ce qui ne fait pas $6$ % ; un taux ne se lit jamais sans le rapporter à la valeur de départ.

M4 · Le taux global

Une action gagne $40$ % puis perd $25$ %. Les coefficients sont écrits, $1{,}4$ puis $0{,}75$. Les évolutions successives se composent en multipliant les coefficients :

$1{,}4 \times 0{,}75 = 1{,}05.$

Le coefficient global se retraduit en taux : $t = 1{,}05 - 1 = 0{,}05$.

Contrôle. Sur une valeur témoin de $100$ euros : l’action monte à $140$, puis retombe à $140 \times 0{,}75 = 105$, soit $5$ euros de plus qu’au départ.

Réponse : sur les deux périodes, l’action a gagné $5$ % de sa valeur initiale. Les taux, eux, ne s’additionnent pas : $+40$ % puis $-25$ % ne fait pas $+15$ %, parce que la perte de $25$ % porte sur une valeur déjà augmentée.

M5 · Défaire une évolution

Après une hausse de $10$ %, le litre de carburant coûte $1{,}87$ euro. Combien coûtait-il avant ? Le coefficient de l’évolution subie est écrit : $\text{CM} = 1{,}1$. Défaire cette hausse, c’est multiplier par l’inverse, donc diviser par $1{,}1$ :

$\dfrac{1{,}87}{1{,}1} = 1{,}70.$

Contrôle. On refait l’évolution directe : $1{,}70 \times 1{,}1 = 1{,}87$, et le prix d’avant est bien inférieur au prix d’après, ce qu’exigeait le mot « hausse ».

Réponse : avant la hausse, le litre coûtait $1{,}70$ euro. Enlever $10$ % au prix affiché aurait donné $1{,}87 \times 0{,}9 = 1{,}683$ euro, un nombre faux : enlever $10$ % ne défait pas ajouter $10$ %.

Ce que ces six jumeaux disent du chapitre

Ils couvrent les cinq méthodes, ce qui était leur premier rôle. Mais regardez-les de plus près : trois d’entre eux se parcourent à l’envers. M1 part de la partie pour retrouver le tout, M3 (b) part de deux valeurs pour retrouver le taux, M5 part de l’arrivée pour retrouver le départ. Les trois autres suivent le sens direct, celui où l’on multiplie.

C’est là qu’est le vrai contenu du chapitre. Dans le sens direct, tout est une multiplication : par une proportion, par un coefficient, ou par leur produit. Dans le sens inverse, tout est une division par ce même nombre. Une évolution et une proportion ne sont difficiles que tant qu’on croit devoir ajouter ou retrancher un pourcentage. Dès qu’on écrit le coefficient, l’aller comme le retour tiennent en une opération.