Brahmagupta, Bhaskara, et l'interdit

Le cours vous a prévenus en quatre lignes de marge : l’interdit de la division par zéro est plus vieux que le signe égal, et ceux qui l’ont enfreint avaient de bonnes raisons. Voici l’histoire entière, et surtout la seule chose qui compte pour vous : pourquoi les mathématiques ont fini par choisir de ne rien répondre.

Le livre de 628

Brahmagupta est astronome, dans l’Inde du VII^e siècle. En 628, il achève le Brahmasphutasiddhanta, un traité d’astronomie dont plusieurs chapitres sont consacrés au calcul pur. On y trouve, pour la première fois dans un texte conservé, le zéro traité non comme une case vide dans l’écriture des nombres, mais comme un nombre à part entière, avec lequel on a le droit de calculer.

Brahmagupta pose ses règles. Un nombre auquel on ajoute zéro ne change pas. Un nombre retranché de lui-même donne zéro. Un nombre multiplié par zéro donne zéro. Il énonce dans la foulée les règles des quantités négatives, qu’il appelle des dettes, opposées aux fortunes.

Puis il arrive à la division, et il ne recule pas. Il écrit que zéro divisé par zéro vaut zéro. Quant à un nombre non nul divisé par zéro, il se contente de dire que c’est une fraction dont le dénominateur est zéro, sans lui donner de valeur. Il a senti que les deux cas n’étaient pas de même nature ; il ne pouvait pas encore dire pourquoi.

Pourquoi $\dfrac{0}{0} = 0$ ne tient pas

L’erreur de Brahmagupta n’est pas d’avoir donné une mauvaise réponse. Elle est d’avoir donné une réponse.

Diviser, c’est répondre à une question de multiplication. Écrire $\dfrac{6}{3} = 2$, c’est affirmer que $2 \times 3 = 6$, et c’est affirmer aussi que $2$ est le seul nombre qui convienne. Toute la puissance du quotient est là : il désigne un nombre, et un seul.

Appliquons la même question à $\dfrac{0}{0}$. Chercher ce quotient, c’est chercher un nombre qui, multiplié par $0$, redonne $0$. Or $0 \times 0 = 0$, et $5 \times 0 = 0$, et $-17 \times 0 = 0$. Tous les réels conviennent, sans exception.

La réponse de Brahmagupta est donc juste, et c’est précisément le problème : elle est juste au même titre que toutes les autres. Écrire $\dfrac{0}{0} = 0$ oblige à écrire aussi $\dfrac{0}{0} = 5$, et l’égalité, qui doit désigner une seule et même quantité de part et d’autre, se met à mentir. Le quotient n’a pas trop peu de valeurs : il en a trop.

Le khahara de Bhaskara

Cinq siècles plus tard, vers 1150, Bhaskara II reprend la question dans le Bijaganita, son traité d’algèbre. Il s’attaque cette fois à l’autre cas, celui que Brahmagupta avait laissé en suspens : un nombre non nul divisé par zéro.

Il lui donne un nom, khahara, littéralement la quantité qui a le vide pour diviseur, et il lui prête un comportement remarquable. Cette quantité, dit-il, ne change pas quand on lui ajoute ou qu’on lui retranche d’autres quantités : on peut y verser autant qu’on veut, elle reste elle-même. Et il choisit, pour le faire comprendre, une image religieuse : elle est immuable comme le dieu Vishnou, que la création ou la destruction des mondes ne modifie en rien.

C’est un moment saisissant de l’histoire des mathématiques. Bhaskara ne calcule pas un nombre, il décrit un objet d’un genre nouveau, dont la propriété caractéristique est d’absorber tout ce qu’on lui ajoute. Cinq cents ans avant que l’analyse ne s’en empare, il a dessiné le portrait de l’infini.

Pourquoi $\dfrac{1}{0}$ ne tient pas davantage

Reprenons pourtant la même question de multiplication. Si l’on décidait que $\dfrac{1}{0}$ vaut un certain nombre $c$, alors il faudrait que $c \times 0 = 1$. Mais la règle de Brahmagupta, celle que personne n’a jamais eu envie de sacrifier, dit que tout nombre multiplié par zéro donne zéro. Il faudrait donc que $0 = 1$, et avec cette seule égalité, tout le calcul s’effondre.

Regardez la symétrie des deux échecs, elle est parfaite. Pour $\dfrac{0}{0}$, tous les nombres conviennent, donc aucun ne mérite d’être choisi. Pour $\dfrac{1}{0}$, aucun nombre ne convient, et le seul candidat imaginable coûterait la règle du produit par zéro. Deux impasses opposées, une seule conclusion.

Il faut être honnête sur un point : les mathématiques modernes ont bien fini par construire des ensembles où l’on ajoute un point à l’infini, et où une écriture comme $\dfrac{1}{0}$ reçoit un sens. Mais le prix est exactement celui qu’on vient de calculer : l’objet ajouté n’y est pas un nombre ordinaire, certaines règles de calcul y sont abandonnées, et $\dfrac{0}{0}$ n’y a toujours aucune valeur. Bhaskara avait vu quelque chose de réel ; il n’avait pas vu la facture.

Ce que le renoncement a rapporté

Les mathématiques ont donc tranché, et leur choix n’est pas une réponse : c’est une abstention. Diviser par zéro n’est pas difficile, ce n’est pas dangereux, ce n’est pas infini. C’est interdit, au sens strict : l’écriture n’a pas de sens, et il n’y a rien à en tirer.

Ce renoncement a l’air d’un aveu de faiblesse. C’est en réalité ce qui vous permet de calculer tranquillement, puisqu’il garantit qu’aucune règle du chapitre ne se retournera contre vous en chemin.

Et il vous impose un geste, celui du paragraphe 3 du cours. Devant $\dfrac{2x+10}{7-x} = 0$, on ne se lance pas : on commence par dire où cette équation a le droit de se tenir. Le réel $7$ annule le dénominateur, donc le membre de gauche n’existe même pas pour cette valeur ; l’ensemble de définition est toute la droite privée de ce point, et $7$ ne pourra jamais entrer dans $S$, même s’il survit au calcul.

Cet ensemble de définition, que vous écrivez d’un trait de plume avant de résoudre, est l’héritier direct de la question laissée ouverte en 628. Il ne dit pas quel est le résultat de la division par zéro. Il dit qu’on n’ira pas y voir.

Sources

• Brahmagupta, Brahmasphutasiddhanta, 628 : règles de calcul du zéro et des quantités négatives ; $0$ divisé par $0$ y vaut $0$, et le cas d’un nombre non nul divisé par zéro reste sans réponse.
• Bhaskara II, Bijaganita, vers 1150 : le khahara, quantité de dénominateur nul, inchangée par ajout ou retrait, et comparée à l’immuabilité de Vishnou.
• Cours A3, paragraphe 3 : valeur interdite, ensemble de définition, et note de marge sur l’antériorité de l’interdit.