Les réponses des blocs « À vous » du cours

Chacune des cinq méthodes du cours est suivie d’un bloc « À vous ». Le premier jumeau vous laisse la fin du travail, le second ne vous laisse rien : les quatre étapes sont à vous. Le bloc de la mise en équation en compte un troisième, celui de la loi d’Ohm. Ce qui suit reprend exactement là où l’énoncé s’arrête, et rien de plus.

Un conseil avant de lire : cherchez d’abord. Une réponse lue n’apprend rien, une réponse comparée à la vôtre apprend beaucoup.

Résoudre une équation du premier degré

(a) Résoudre $9x - 7 = 5x + 13$. Les regroupements sont faits, l’équation est réduite à $4x = 20$. Restent la division, la vérification et l’ensemble $S$.

Le coefficient $4$ est non nul : on peut diviser les deux membres par $4$, et ce geste est réversible.

$4x = 20 \iff x = 5.$

Vérification. Pour $x = 5$, le membre de gauche vaut $9 \times 5 - 7 = 38$, celui de droite $5 \times 5 + 13 = 38$. L’égalité est vraie.

$\boxed{S = \{5\}}$

(b) Résoudre $3x + 8 = 8x - 22$. Les quatre étapes.

On ajoute $-8x$ puis $-8$ aux deux membres, ce qui regroupe les $x$ à gauche et les constantes à droite ; on réduit, puis on divise par $-5$, non nul :

$3x + 8 = 8x - 22 \iff -5x = -30 \iff x = 6.$

Vérification. Pour $x = 6$ : à gauche $3 \times 6 + 8 = 26$, à droite $8 \times 6 - 22 = 26$.

$\boxed{S = \{6\}}$

Résoudre une inéquation du premier degré

(a) Résoudre $7 - 2x \leqslant 1$. Le regroupement est fait : $-2x \leqslant -6$. Restent le renversement, l’intervalle et les sentinelles.

On divise les deux membres par $-2$, qui est strictement négatif : le sens de l’inégalité se renverse, comme le chapitre A2 l’a démontré.

$-2x \leqslant -6 \iff x \geqslant 3.$

Les solutions sont tous les réels supérieurs ou égaux à $3$.

$\boxed{S = \left[3\,;+\infty\right[}$

Contrôle par sentinelles. Pour $x = 5$, qui est dans l’intervalle : $7 - 2 \times 5 = -3$, et $-3 \leqslant 1$, vrai. Pour $x = 0$, qui n’y est pas : $7 \leqslant 1$, faux. Les deux postes confirment.

(b) Résoudre $5x + 4 > 9x - 8$. Les quatre étapes.

On ajoute $-9x$ et $-4$ aux deux membres, gestes qui ne touchent pas au sens, puis on divise par $-4$, strictement négatif, en renversant :

$5x + 4 > 9x - 8 \iff -4x > -12 \iff x < 3.$

$\boxed{S = \left]-\infty\,;3\right[}$

Contrôle par sentinelles. Pour $x = 0$ : $4 > -8$, vrai. Pour $x = 5$ : $29 > 37$, faux.

Mettre un problème en équation

(a) Un rectangle a un périmètre de $34$ cm, et sa longueur dépasse sa largeur de $5$ cm. La mise en équation est faite : en notant $l$ la largeur en centimètres, $2\big((l+5) + l\big) = 34$. Restent la résolution, la confrontation et la phrase de réponse.

$2\big((l+5) + l\big) = 34 \iff 4l + 10 = 34 \iff 4l = 24 \iff l = 6.$

L’ensemble des solutions de l’équation est $S = \{6\}$.

Confrontation. Une largeur de $6$ cm est un nombre positif, donc plausible ; la longueur vaut alors $6 + 5 = 11$ cm, et le périmètre $2 \times (11 + 6) = 34$ cm, ce qu’annonçait l’énoncé. Réponse : la largeur du rectangle mesure $6$ cm.

$\boxed{l = 6 \text{ cm}}$

(b) Trouver trois entiers consécutifs dont la somme vaut $141$. Les quatre étapes.

Notons $n$ le plus petit des trois entiers. Les deux suivants s’écrivent $n+1$ et $n+2$, et l’énoncé impose l’égalité de leur somme avec $141$ :

$n + (n+1) + (n+2) = 141 \iff 3n + 3 = 141 \iff 3n = 138 \iff n = 46.$

Vérification. $46 + 47 + 48 = 141$.

Confrontation. Le nombre $46$ est bien un entier, ce que le problème exigeait.

$\boxed{\text{Les trois entiers cherchés sont } 46, \; 47 \text{ et } 48.}$

(c) La loi d’Ohm s’écrit $U = RI$, où la résistance $R$ est non nulle. Isoler l’intensité $I$. Les gestes, et la condition qui les autorise.

Une formule est une équation dont rien n’est encore figé : les gestes légaux s’y appliquent, les autres lettres étant traitées comme des nombres. Ici, un seul geste suffit : diviser les deux membres par $R$. Il n’est permis que parce que l’énoncé garantit $R$ non nulle, et c’est cette condition qui rend le chemin du retour possible.

$U = RI \iff \dfrac{U}{R} = I.$

$\boxed{I = \dfrac{U}{R}, \text{ pour toute résistance } R \text{ non nulle}}$

Résoudre par le produit nul

(a) Résoudre $(5x+1)(4-x) = 0$. Le théorème est appliqué : $5x + 1 = 0$ ou $4 - x = 0$. Restent les deux résolutions et l’ensemble $S$.

Chacune des deux équations est du premier degré. La première donne $5x = -1$, puis $x = -\dfrac{1}{5}$ ; la seconde donne $x = 4$. Le « ou » du théorème est inclusif, mais aucun réel ne peut annuler les deux facteurs à la fois : les deux solutions sont distinctes et toutes deux comptent.

$\boxed{S = \left\{-\dfrac{1}{5}\,;4\right\}}$

(b) Résoudre $4x^{2} - 9x = 0$. Les quatre étapes, en faisant d’abord apparaître un produit.

Tout est déjà dans le membre de gauche, et le membre de droite est nul : reste à factoriser. Le facteur commun est $x$.

$4x^{2} - 9x = 0 \iff x(4x - 9) = 0 \iff x = 0 \ \text{ ou } \ 4x - 9 = 0.$

La seconde équation donne $4x = 9$, puis $x = \dfrac{9}{4}$.

Vérification. Pour $x = 0$, l’expression vaut $0$. Pour $x = \dfrac{9}{4}$, le second facteur est nul, donc le produit aussi.

$\boxed{S = \left\{0\,;\dfrac{9}{4}\right\}}$

Diviser d’entrée par $x$ aurait livré la seule solution $\dfrac{9}{4}$ et effacé $0$ : c’est le geste du magicien, une fois de plus.

Résoudre une équation quotient nul

(a) Résoudre $\dfrac{3x+12}{x-5} = 0$. La valeur interdite est trouvée, $5$, et l’équation du numérateur est posée : $3x + 12 = 0$. Restent la résolution, la confrontation, la vérification et l’ensemble $S$.

L’équation du numérateur donne $3x = -12$, puis $x = -4$.

Confrontation. Le nombre $-4$ n’est pas la valeur interdite $5$ : la candidate survit au poste de contrôle.

Vérification. Pour $x = -4$, le numérateur vaut $3 \times (-4) + 12 = 0$ et le dénominateur $-4 - 5 = -9$, non nul ; le quotient $\dfrac{0}{-9}$ vaut bien $0$.

$\boxed{S = \{-4\}, \text{ avec } 5 \text{ pour valeur interdite}}$

(b) Résoudre $\dfrac{10-2x}{x+3} = 0$. Les quatre étapes.

Valeur interdite d’abord : le dénominateur $x+3$ s’annule pour $x = -3$. La résolution se mène donc sur les réels différents de $-3$.

Sur cet ensemble, le quotient est nul exactement quand son numérateur l’est :

$10 - 2x = 0 \iff -2x = -10 \iff x = 5.$

Confrontation. Le nombre $5$ est différent de $-3$ : il n’est pas interdit.

Vérification. Pour $x = 5$, le numérateur vaut $0$ et le dénominateur $8$, et $\dfrac{0}{8} = 0$.

$\boxed{S = \{5\}, \text{ avec } -3 \text{ pour valeur interdite}}$

Le défi laissé en marge

Le cours demandait de résoudre $(x+1)(x-4) = (x+1)(2x-9)$ sans céder au réflexe de diviser par $(x+1)$, puis de dire quelle solution cette division aurait effacée.

Le chemin loyal. On ramène tout dans le membre de gauche, en ajoutant $-(x+1)(2x-9)$ aux deux membres : geste légal, et réversible.

$(x+1)(x-4) - (x+1)(2x-9) = 0.$

Le facteur $(x+1)$ est commun aux deux termes. On le met en facteur, puis on réduit le crochet :

$(x+1)\big[(x-4) - (2x-9)\big] = 0 \iff (x+1)(5 - x) = 0.$

Le produit nul découpe alors l’équation en deux :

$x + 1 = 0 \ \text{ ou } \ 5 - x = 0,$

c’est-à-dire $x = -1$ ou $x = 5$.

Vérification. Pour $x = -1$, les deux membres de départ valent $0$, puisque le facteur $(x+1)$ est nul de part et d’autre. Pour $x = 5$ : à gauche $6 \times 1 = 6$, à droite $6 \times 1 = 6$.

$\boxed{S = \{-1\,;5\}}$

Ce que la division aurait coûté. Diviser les deux membres par $(x+1)$ laisse $x - 4 = 2x - 9$, donc $x = 5$, et cette réponse n’est pas fausse : elle est incomplète. Le geste n’est légal que si le nombre par lequel on divise est non nul, et personne n’a vérifié que $x+1$ l’était. Or, pour $x = -1$, il vaut précisément zéro : la division a fait disparaître, sans bruit, l’unique valeur pour laquelle elle était interdite. C’est exactement le tour du magicien de l’activité, joué sur une autre équation.