Les cales de Johansson et les décimales de la NASA

Deux exercices de l’Atelier, deux façons de dire « assez proche ». L’un compose une longueur avec des morceaux d’acier, l’autre coupe une écriture décimale au bon endroit. Ils racontent la même chose, et ils la racontent à deux siècles de distance.

Trente-huit blocs, trente mille longueurs

La question 5 de l’exercice 26 demandait comment cent deux blocs composent près de trente mille longueurs. La réponse tient en un mot, combiner, et il vaut la peine de la chiffrer.

Voici le principe, sur un jeu reconstruit pour la démonstration. On bâtit cinq séries. Neuf blocs pour les centièmes : $1{,}01$ ; $1{,}02$ ; jusqu’à $1{,}09$. Neuf pour les dixièmes : $1{,}1$ jusqu’à $1{,}9$. Neuf pour les unités : $1$ jusqu’à $9$. Neuf pour les dizaines : $10$ jusqu’à $90$. Deux pour les centaines : $100$ et $200$. Total, trente-huit blocs.

Reprenons la question 3 : la cote visée y était $47{,}382$ millimètres, et la longueur composable la plus proche, celle que l’atelier retient, vaut $47{,}38$. Éteignons les rangs de cette longueur un par un, du plus petit au plus grand. Le bloc $1{,}08$ règle le chiffre des centièmes et laisse $46{,}30$. Le bloc $1{,}3$ règle les dixièmes et laisse $45$. Le bloc $5$ règle les unités, le bloc $40$ les dizaines.

$47{,}38 = 1{,}08 + 1{,}3 + 5 + 40.$

Quatre blocs, une seule pile, et le procédé ne dépend pas de la cote : chaque série éteint un rang, et il n’y a que cinq rangs à éteindre ; quatre seulement sont occupés ici.

Comptons maintenant ce que cela ouvre. Dans chaque série de neuf on prend un bloc ou aucun, ce qui fait dix possibilités ; pour les centaines, trois. En tout

$10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 3 = 30\,000$

empilements différents, à comparer aux $29\,951$ longueurs comptées à la question 1. Trente-huit blocs, trente mille empilements deux à deux distincts : les deux nombres se répondent, mais la coïncidence n’est pas encore une couverture. Notre reconstruction ne descend pas sous le millimètre, manque les cotes dont les deux décimales sont non nulles, comme $1{,}55$, et ne compose pas $300$ tout rond. C’est très exactement là que le jeu réel de Johansson est plus généreux que notre reconstruction, avec une série basse en millièmes de millimètre, des doublons permettant de prendre deux blocs dans la même série, et des cales de protection aux extrémités de la pile. Le principe, lui, est bien celui-là : on ne compte pas les blocs, on les compose.

Pourquoi les cales tiennent ensemble

Il manque une chose à ce récit, et c’est la plus étonnante. Empiler quatre blocs ne servirait à rien s’il subsistait entre eux le moindre jeu : trois interstices d’un centième de millimètre ruineraient toute la précision.

Or les cales ne se posent pas l’une sur l’autre, elles adhèrent. Leurs faces sont rodées à une planéité de quelques dizaines de nanomètres, c’est-à-dire quelques dizaines de millionièmes de millimètre. On les fait glisser l’une contre l’autre avec une légère torsion, et elles se collent : une pile ainsi montée se soulève par le bloc du haut sans se défaire, et supporte un effort de séparation de plusieurs dizaines de kilogrammes. Les métrologues appellent cela l’adhérence par glissement. L’explication complète est encore discutée : un film moléculaire d’huile ou d’eau, la pression atmosphérique qui plaque les faces l’une contre l’autre, l’attraction moléculaire entre deux surfaces très proches. Les trois y contribuent, et leur partage exact fait toujours l’objet de mesures.

De l’atelier suédois à Detroit

L’idée valait mieux qu’un atelier d’armurerie. Elle valait une industrie, et elle en a fait une.

Henry Leland, fondateur de Cadillac, avait bâti sa réputation sur une exigence que ses concurrents jugeaient absurde : que les pièces sortant de la chaîne soient assez proches de la cote pour être interchangeables sans ajustage. En février 1908, à Brooklands, en Angleterre, trois Cadillac furent démontées, leurs pièces mélangées en un seul tas, puis trois voitures furent reconstruites à partir de ce tas et roulèrent cinq cents milles. Le Royal Automobile Club décerna à Cadillac le trophée Dewar, et la marque en tira sa devise commerciale.

C’est très exactement l’expérience que Jefferson raconte dans sa lettre de 1785, après sa visite à l’atelier d’Honoré Blanc à Paris : cinquante platines de fusil démontées, leurs pièces mêlées, et des platines reconstituées au hasard. Le cours ouvre là-dessus. Cent vingt-trois ans séparent les deux démonstrations, et ce qui les sépare vraiment, c’est l’outil : Blanc avait des gabarits, Leland avait des cales étalon. Johansson lui-même finira par traverser l’Atlantique : il émigre aux États-Unis, et travaille auprès d’Henry Ford à partir de 1923.

Et les décimales

L’exercice 27 a établi que trente-sept décimales de $\pi$ suffisent à calculer la circonférence de l’univers observable avec une erreur inférieure au diamètre d’un atome d’hydrogène. Deux questions restent, et elles sont d’ordre de grandeur.

Pourquoi quinze décimales suffisent-elles aux sondes ? Parce que l’erreur qu’elles introduisent, quelques centimètres sur un cercle grand comme le système solaire, est sans commune mesure avec les autres incertitudes de la navigation : la position des planètes elle-même n’est connue qu’à quelques kilomètres près, la poussée d’un moteur ne se maîtrise pas au millionième, et la pression du rayonnement solaire dévie une sonde légère de façon difficile à prévoir. Améliorer $\pi$ au-delà de quinze décimales reviendrait à raboter une cale au nanomètre pour l’insérer dans un montage tenu à l’œil.

Pourquoi entend-on quarante plutôt que trente-sept ? Parce que le chiffre dépend de ce qu’on met dans le calcul : un rayon de l’univers observable un peu plus grand, un atome un peu plus petit, et l’on monte à trente-huit ; il faudrait un facteur dix de plus pour justifier trente-neuf. Quarante est une borne confortable, et honnête à ce titre. Elle laisse tout de même sans emploi les centaines de milliers de milliards de décimales que les machines ont calculées depuis : celles-là ne mesurent plus rien, elles éprouvent des ordinateurs.

Sources

• Atelier A2, exercices 26 et 27 ; cours A2, note de marge sur Johansson et ouverture sur Jefferson et Honoré Blanc.
• Carl Edvard Johansson (1864-1943), inspecteur à la manufacture d’armes d’Eskilstuna, met au point son jeu de cales en 1896 et le fait breveter au tournant du siècle. La composition détaillée des séries donnée ci-dessus est une reconstruction du principe, les jeux réels variant dans le détail.
• Sur l’essai de Brooklands : Royal Automobile Club, essai de standardisation de février et mars 1908, trophée Dewar décerné à Cadillac la même année.
• Sur les quinze décimales du laboratoire de navigation interplanétaire : les explications publiées par le laboratoire lui-même, reprises dans l’énoncé de l’exercice 27.