Après la coupure : additionner, attendre, compter

Le devoir vous a fait construire des nombres avec de l’ordre et rien d’autre. Il se referme sur trois dettes : additionner, expliquer un silence de quatorze ans, et revenir à la question laissée ouverte par le chapitre A1.

Additionner deux paquets

La question 20 proposait une définition, et elle est la bonne. Étant données deux coupures $(A \mid B)$ et $(A' \mid B')$, on forme le paquet de toutes les sommes $a + a'$, où $a$ parcourt $A$ et $a'$ parcourt $A'$, et l’on décrète que ce paquet est la classe de gauche de la coupure somme.

Éprouvons-la sur l’exemple du devoir, les coupures de $\dfrac{1}{2}$ et de $\dfrac{1}{3}$, en prenant pour classe de gauche les rationnels strictement plus petits que la frontière. Un sens est facile : si $a < \dfrac{1}{2}$ et $a' < \dfrac{1}{3}$, alors, en additionnant deux inégalités de même sens comme le paragraphe 1 du cours l’autorise, $a + a' < \dfrac{5}{6}$.

L’autre sens est le vrai travail : il faut obtenir toutes les sommes voulues. Prenons un rationnel $q$ strictement plus petit que $\dfrac{5}{6}$, posons $d = \dfrac{5}{6} - q$, strictement positif, et retranchons la moitié de $d$ à chacune des deux frontières :

$a = \dfrac{1}{2} - \dfrac{d}{2} \qquad\text{et}\qquad a' = \dfrac{1}{3} - \dfrac{d}{2}.$

Ces deux rationnels sont bien dans $A$ et dans $A'$, et leur somme vaut $\dfrac{5}{6} - d$, c’est-à-dire $q$. Le paquet des sommes est donc exactement la classe de gauche de $\dfrac{5}{6}$, ni plus, ni moins.

La définition tient aussi là où il n’y a pas de frontière rationnelle : en additionnant à elle-même la coupure de $\sqrt{2}$, celle de la partie III, on obtient la coupure dont la classe de gauche réunit les rationnels négatifs ou nuls et ceux dont le carré est strictement plus petit que $8$, c’est-à-dire la coupure de $2\sqrt{2}$.

Pourquoi la multiplication résiste

Transposons naïvement : le paquet de tous les produits $a \times a'$. Prenons les coupures de $2$ et de $3$, dont le produit doit valoir $6$, et choisissons $a = -100$ et $a' = -100$, deux rationnels bien strictement plus petits que $2$ et que $3$. Leur produit vaut $10\,000$.

Le paquet des produits contient donc des nombres arbitrairement grands : ce n’est pas une classe de gauche, c’est l’ensemble des rationnels tout entier. La transposition échoue à cause des signes, puisque multiplier deux nombres négatifs remonte au lieu de descendre.

Le remède de Dedekind coûte cher en cas : on définit d’abord le produit de deux coupures strictement positives, en ne prenant les produits que sur les éléments strictement positifs des deux classes de gauche et en adjoignant au paquet obtenu tous les rationnels négatifs ou nuls, puis on étend aux autres signes en traitant les quatre combinaisons séparément. L’addition tenait en une ligne, la multiplication demande une page, et le déséquilibre n’est pas un accident de rédaction : l’ordre supporte l’addition sans réserve, et la multiplication sous condition de signe seulement. C’est ce que le paragraphe 1 du cours disait, avec ses deux règles dont une seule renverse.

Quatorze ans

Dedekind trouve le 24 novembre 1858 et publie en 1872. Trois choses expliquent l’attente, et aucune n’est la paresse.

La première est de son propre aveu, dans la préface de 1872 : la chose lui paraissait malaisée à présenter et de peu de rendement.

La deuxième est professionnelle. Dedekind quitte Zurich en 1862 pour le Polytechnikum de sa ville natale, Brunswick, où il enseignera plus de trente ans sans chaire de recherche et passera le reste de sa vie, tout en éditant les œuvres de Dirichlet, de Gauss et de Riemann.

La troisième est qu’il travaillait ailleurs : pendant ces quatorze ans, il construit la théorie des idéaux, publiée en 1871. Les coupures étaient une note ancienne dans un tiroir.

Ce qui déclenche la publication, c’est que d’autres arrivent sur le sujet : en 1872 paraissent les travaux de Heine et de Cantor sur la même question, par un autre chemin. La préface de Dedekind, datée du 20 mars, mentionne le mémoire de Cantor.

Infiniment plus nombreux

Reste la dette du chapitre A1 : on y a dit que les irrationnels sont infiniment plus nombreux que les rationnels, sans dire ce que cela signifiait. Cantor le dit, et son argument de 1891 tient en une page.

Supposons que l’on ait écrit la liste complète des réels de $]0\,;1[$, un premier, un deuxième, un troisième, sans en oublier aucun, chacun donné par son écriture décimale. Fabriquons un nombre $y$ ainsi : sa première décimale est $5$ si la première décimale du premier nombre de la liste n’est pas $5$, et $4$ sinon ; sa deuxième décimale est $5$ si la deuxième décimale du deuxième nombre n’est pas $5$, et $4$ sinon ; et l’on continue en descendant la diagonale.

Ce nombre $y$ est bien dans $]0\,;1[$, et il n’est dans la liste nulle part : il diffère du premier nombre à la première décimale, du deuxième à la deuxième, du $n$-ième à la $n$-ième. La liste, qu’on supposait complète, ne l’était pas, et aucune ne peut l’être.

Le choix des chiffres $4$ et $5$ n’est pas décoratif. Un même nombre a parfois deux écritures décimales, l’une finissant par des $9$ répétés indéfiniment, l’autre par des $0$ : différer d’une décimale ne suffirait alors pas à différer de nombre. En n’employant que des $4$ et des $5$, le nombre $y$ ne finit ni par des $9$ ni par des $0$, et l’ambiguïté est écartée.

Face à cela, les rationnels se laissent lister. Rangeons les fractions positives irréductibles par somme croissante du numérateur et du dénominateur, et à somme égale par numérateur croissant :

$\dfrac{1}{1} \ ;\ \dfrac{1}{2} \ ;\ \dfrac{2}{1} \ ;\ \dfrac{1}{3} \ ;\ \dfrac{3}{1} \ ;\ \dfrac{1}{4} \ ;\ \dfrac{2}{3} \ ;\ \dfrac{3}{2} \ ;\ \dfrac{4}{1} \ ;\ \ldots$

Chaque paquet étant fini, la liste avance, et toute fraction irréductible y figure à un rang qu’on peut nommer. En intercalant les opposés et le zéro, on liste tous les rationnels.

Voilà le sens précis de la phrase de A1 : $\mathbb{Q}$ se laisse mettre en liste, $\mathbb{R}$ ne s’y laisse pas mettre. L’intuition proteste, et il faut y prendre garde : le résultat R1 du devoir affirme qu’entre deux réels distincts il y a toujours un rationnel, si serrés soient-ils. Les rationnels sont partout, et pourtant ils se comptent. Être dense et être nombreux sont deux choses différentes, et rien avant Cantor ne permettait de le formuler.

Le devoir vous a montré comment fabriquer les réels avec de l’ordre seul ; il restait à savoir combien on en avait fabriqué.

Sources

• DM A2, question 20 et sa clôture ; chapitre A1 pour l’affirmation laissée en suspens.
• Richard Dedekind, Stetigkeit und irrationale Zahlen, Brunswick, 1872, préface du 20 mars : c’est elle qui donne la date du 24 novembre 1858 et la raison du silence. Sa théorie des idéaux paraît en 1871, en supplément aux Vorlesungen über Zahlentheorie de Dirichlet.
• Georg Cantor établit la non-dénombrabilité des réels dès 1874, par un argument d’intervalles emboîtés ; l’argument diagonal date de 1891.