Vrai ou légende : celui qui a découvert l'irrationalité a-t-il été jeté à la mer ?

L’Atelier s’est refermé sur une promesse, et sur une question qu’il avait soigneusement évitée :

Celui qui a découvert l’irrationalité a-t-il vraiment été jeté à la mer ?

Voici le verdict. Il tient en un mot, mais ce mot ne vaut rien sans ce qui le précède : établir un fait historique ressemble à établir un théorème.

L’homme, et le seul objet qu’on puisse lui attribuer

Il s’appelle Hippase de Métaponte, il aurait vécu autour de 500 avant notre ère, et l’on ne sait à peu près rien de lui. Aristote le cite une seule fois, dans la Métaphysique, et pas pour des mathématiques : il le range à côté d’Héraclite parmi ceux qui font du feu le principe de toutes choses. C’est la mention la plus ancienne, et elle ne dit pas un mot de $\sqrt{2}$.

Ce qu’on lui attribue de plus concret est un objet, et il vaut la peine de se le représenter. Aristoxène, au $\text{IV}^{\text{e}}$ siècle avant notre ère, rapporte qu’Hippase avait fait couler quatre disques de bronze de même diamètre mais d’épaisseurs différentes, dans les rapports $12$, $9$, $8$ et $6$, et qu’il les frappait pour les faire sonner. Le disque deux fois plus épais qu’un autre donne l’octave, le rapport $\dfrac{3}{2}$ donne la quinte, le rapport $\dfrac{4}{3}$ donne la quarte. Toute l’harmonie du monde tenait dans des rapports d’entiers, et l’on pouvait l’entendre en tapant sur du métal.

Retenez ce détail : il explique pourquoi la suite fait une si belle histoire. Quand on croit que tout se dit avec des rapports d’entiers, découvrir que le quotient $\dfrac{p}{q}$ ne vaut jamais $\sqrt{2}$, quels que soient les entiers $p$ et $q$ choisis avec $q$ non nul, n’est pas une curiosité de spécialiste : c’est l’effondrement d’une doctrine.

Ce que disent réellement les sources anciennes

Elles sont tardives, peu nombreuses, et se contredisent.

Clément d’Alexandrie, à la fin du $\text{II}^{\text{e}}$ siècle de notre ère, sept siècles après les faits, nomme un certain Hipparque, et non Hippase. Il le dit chassé de l’école pour avoir publié la doctrine, et raconte que ses compagnons lui dressèrent un tombeau, comme s’il était mort. Aucune noyade.

Jamblique, aux $\text{III}^{\text{e}}$ et $\text{IV}^{\text{e}}$ siècles, donne à lui seul plusieurs versions incompatibles. La faute est tantôt d’avoir révélé comment inscrire le dodécaèdre dans une sphère, tantôt d’avoir divulgué les rapports irrationnels, tantôt simplement d’avoir écrit. La sanction est tantôt l’exclusion et le tombeau symbolique, tantôt la mort en mer. Il hésite même sur la ville natale d’Hippase, qu’il place selon les passages à Métaponte, à Sybaris ou à Crotone.

Pappus, au début du $\text{IV}^{\text{e}}$ siècle, dans son commentaire du livre X d’Euclide, et une scholie anonyme de la même époque racontent bien la noyade. Mais tous deux annoncent qu’ils rapportent une fable, et tous deux en donnent aussitôt la lecture symbolique : la mer où sombre le coupable, c’est l’illimité, et ce qui est sans forme doit rester caché. Pappus, de surcroît, ne nomme personne.

Le tableau est net : le personnage le plus anciennement attesté n’est pas noyé, et les textes qui le noient sont les plus tardifs, se contredisent sur la faute, sur la peine et jusqu’au nom du coupable, et préviennent eux-mêmes qu’il s’agit d’une fable morale.

Ce que l’historiographie moderne en retient

Premier constat : aucun auteur antique n’attribue nommément à Hippase la découverte de l’irrationalité. Le lien entre cet homme et ce théorème est une reconstruction moderne, plausible, mais qui n’a jamais été un document.

Deuxième constat : les spécialistes ne s’accordent même pas sur la date. Kurt von Fritz, dans un article de 1945 resté célèbre, plaide pour le milieu du $\text{V}^{\text{e}}$ siècle, et pour une découverte née du pentagone régulier plutôt que du carré. Walter Burkert penche pour la première moitié du même siècle, Wilbur Knorr descend jusqu’aux environs de 430 à 410. Un siècle d’écart entre les hypothèses.

La trace dure, elle, est ailleurs, et elle est mathématique. Vers 350 avant notre ère, Aristote cite dans les Premiers Analytiques, comme un exemple si familier qu’il ne prend pas la peine de le détailler, la démonstration qui rend un nombre impair égal à un nombre pair dès qu’on suppose la diagonale commensurable au côté. C’est le raisonnement du cours, à un habillage près : supposer la fraction écrite, et laisser la parité produire la contradiction. Le raisonnement est attesté ; le nom de son auteur ne l’est pas.

Le verdict

Légende. Non pas fausse dans chaque détail, personne ne peut le dire, mais invérifiable, tardive, contradictoire, et présentée comme une fable par ceux-là mêmes qui nous l’ont transmise. Ce qui reste certain tient en une phrase : quelqu’un, au $\text{V}^{\text{e}}$ siècle avant notre ère, a démontré que la diagonale du carré échappe aux fractions, et cette démonstration a survécu à celui qui l’a trouvée.

Le geste, lui, est celui de tout le chapitre. Pour affirmer que $\sqrt{2}$ est irrationnel, on n’aligne pas des décimales : un million de décimales sans période ne prouve rien, il faut une démonstration. Pour affirmer qu’un homme a été jeté à la mer, on n’aligne pas des récits : mille récits ne prouvent rien, il faut une source, sa date, et le courage d’aller lire ce qu’elle dit vraiment. Dans les deux cas, l’accumulation ne remplace jamais la preuve.

Sources

• Aristote, Métaphysique, livre I, sur Hippase et le feu ; Premiers Analytiques, livre I, chapitre 23, pour la plus ancienne trace connue de la démonstration d’incommensurabilité.
• Aristoxène sur les quatre disques de bronze : témoignage transmis par une note marginale de copiste dans un manuscrit du Phédon de Platon.
• Clément d’Alexandrie, Stromates ; Jamblique, Vie de Pythagore ; Pappus, commentaire du livre X des Éléments, et la scholie anonyme au même livre.
• Kurt von Fritz, « The Discovery of Incommensurability by Hippasus of Metapontum », Annals of Mathematics, 1945 ; Walter Burkert, Lore and Science in Ancient Pythagoreanism, 1972 ; Wilbur Knorr, The Evolution of the Euclidean Elements, 1975.