La chasse aux irrationnels

Le DM s’est arrêté à la frontière : $\sqrt{2}$, le nombre d’or, un logarithme. Voici ce qui se passe de l’autre côté, là où les preuves demandent des années, et parfois des siècles.

Lambert, ou comment piéger un nombre qu’on ne peut pas toucher

Pour $\sqrt{2}$, vous aviez une prise : l’équation $p^2 = 2q^2$. Mais $\pi$ ? Ce nombre est défini par un cercle, pas par une équation. Aucune parité à faire parler, aucune descente évidente. Pendant deux mille ans, personne ne sait par où l’attaquer.

Johann Heinrich Lambert trouve la porte dérobée en 1761 (le mémoire paraît à l’Académie de Berlin en 1768). Son idée : ne pas viser $\pi$, mais la fonction tangente. Il développe $\tan x$ en fraction continue, une fraction dont le dénominateur contient une fraction, dont le dénominateur contient une fraction, et ainsi de suite à l’infini :

Et il démontre un théorème redoutable : si $x$ est un rationnel non nul, alors $\tan x$ est irrationnel. La chute est alors une pure affaire de logique, et vous la reconnaîtrez : supposons $\pi$ rationnel ; alors $\dfrac{\pi}{4}$ l’est aussi ; le théorème force $\tan\dfrac{\pi}{4}$ à être irrationnel ; or $\tan\dfrac{\pi}{4} = 1$, le plus rationnel des nombres. Contradiction, exactement la structure du chapitre : on enferme l’hypothèse dans une pièce dont les deux sorties sont murées. Lambert n’a jamais « calculé » l’irrationalité de $\pi$ : il l’a piégée.

Marseille, juin 1978 : la conférence la plus houleuse du siècle

Sautons deux siècles. On sait depuis Euler que $\zeta(2) = \sum \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$, donc que $\zeta(2)$ est irrationnel. Mais son frère impair, $\zeta(3) = \frac{1}{1^3} + \frac{1}{2^3} + \frac{1}{3^3} + \cdots$, résiste à tout le monde, Euler compris.

Aux Journées arithmétiques de Luminy, près de Marseille, un professeur de Caen de soixante et un ans, Roger Apéry, annonce en séance qu’il va démontrer l’irrationalité de $\zeta(3)$. La salle, pleine de spécialistes, écoute un exposé déroutant : une avalanche de formules improbables, presque sans justifications, autour d’une suite définie par la récurrence

Le « miracle d’Apéry » : avec $u_0 = 1$ et $u_1 = 5$, tous les termes sont entiers, alors qu’à chaque étape on divise par $n^3$. Rien, dans la formule, ne l’annonce ; tout, dans le calcul, le confirme. Une seconde suite, régie par la même récurrence, produit des rationnels qui approchent $\zeta(3)$ trop vite : plus vite qu’aucun rationnel ne peut être approché par d’autres rationnels sans être rattrapé. Donc $\zeta(3)$ n’en est pas un.

Sur le moment, la salle se partage entre croyants et sceptiques, et les sceptiques dominent : on murmure, on rit, certains sortent. Mais quelqu’un vérifie la récurrence sur ordinateur pendant la pause : elle tient. Il faudra environ deux mois à Henri Cohen, Alfred van der Poorten et Don Zagier pour reconstruire une démonstration complète et rigoureuse. Van der Poorten publiera le récit sous un titre devenu célèbre : A proof that Euler missed, une preuve qui avait échappé à Euler. Tout y était élémentaire ; il fallait « seulement » y penser.

La querelle des preuves fantômes

Le DM s’est achevé sur une existence sans témoin : deux irrationnels $a$ et $b$ avec $a^b$ rationnel, sans savoir lesquels. C’est précisément ce genre de preuve que le mathématicien néerlandais L. E. J. Brouwer refusait au début du XXe siècle : pour les constructivistes, démontrer « il existe » exige d’exhiber, et le tiers exclu (« $t$ est rationnel ou ne l’est pas ») ne doit pas servir de passe-partout. Notez la nuance : une preuve d’irrationalité, elle, démontre qu’un objet (la fraction) n’existe pas, et même Brouwer l’acceptait ; c’est l’existence par l’absurde qui fâche. Où en est le débat ? Le tiers exclu reste l’outil quotidien de l’immense majorité des mathématiciens, mais les mathématiques constructives sont bien vivantes : ce sont elles qui irriguent les assistants de preuve, ces logiciels qui vérifient les démonstrations ligne à ligne.

La chasse continue

L’état du terrain, honnêtement. Les valeurs paires sont réglées depuis Euler : $\zeta(2n)$ est toujours un multiple rationnel de $\pi^{2n}$, donc irrationnel. Côté impair, $\zeta(3)$ reste, presque cinquante ans après Marseille, la seule victoire individuelle. Pour $\zeta(5)$ : rien. Personne ne sait si ce nombre est irrationnel.

Mais la chasse a fait deux prises étranges. En 2000-2001, Keith Ball et Tanguy Rivoal démontrent qu’une infinité des nombres $\zeta(2n+1)$ sont irrationnels, sans pouvoir en désigner un seul. Puis Wadim Zudilin resserre l’étau : au moins l’un des quatre nombres $\zeta(5)$, $\zeta(7)$, $\zeta(9)$, $\zeta(11)$ est irrationnel. Lequel ? Mystère. Vous reconnaissez la situation : c’est la question Q13 du DM, à l’échelle de la recherche mondiale. On sait que le témoin existe ; on ne l’a jamais vu.

Voilà la leçon que ce chapitre voulait laisser : $\zeta(5) = \sum \frac{1}{n^5}$ s’écrit en six symboles, un élève de terminale comprend l’énoncé en une minute, et l’humanité entière sèche. Les mathématiques ne manquent pas de réponses ; elles débordent de questions simples qui attendent, patiemment, quelqu’un qui y pense autrement.

Sources

• J. H. Lambert, Mémoire sur quelques propriétés remarquables des quantités transcendantes circulaires et logarithmiques, Académie de Berlin (lu en 1761, publié en 1768) ; analyse sur BibNum (education.fr).
• A. van der Poorten, A proof that Euler missed… Apéry’s proof of the irrationality of $\zeta(3)$, The Mathematical Intelligencer, 1979.
• F. Beukers, Consequences of Apéry’s work on $\zeta(3)$, exposé, Caen 2003.
• K. Ball et T. Rivoal, Irrationalité d’une infinité de valeurs de la fonction zêta aux entiers impairs, Inventiones Mathematicae, 2001.
• W. Zudilin, One of the numbers $\zeta(5)$, $\zeta(7)$, $\zeta(9)$, $\zeta(11)$ is irrational, Russian Mathematical Surveys, 2001.