Le procès de Protagoras

Les Coulisses vous ont raconté l’histoire : Protagoras, le professeur le plus cher du monde antique, attaque son élève Euathlos, qui ne devait le payer qu’après sa première victoire en procès, et qui s’est bien gardé de plaider. Ici, on rejoue l’affaire au ralenti, crayon en main, avec les outils du chapitre. Car ce procès est d’abord un problème de logique, et il mérite d’être écrit comme tel.

Deux disjonctions, ligne à ligne

Notons $V$ la proposition « Euathlos gagne ce procès » et $P$ la proposition « Euathlos doit payer ». L’issue du procès fournit une disjonction irréprochable : $V$ ou $\overline{V}$, deux cas exhaustifs, sans recouvrement.

Protagoras raisonne ainsi :

• cas $\overline{V}$ : Euathlos perd, donc le tribunal me donne raison, et le jugement impose $P$ ;
• cas $V$ : Euathlos vient de gagner son premier procès, et le contrat stipule que première victoire entraîne paiement, donc $P$.

Dans les deux cas, $P$. Conclusion : Euathlos paiera.

Euathlos, formé à bonne école, retourne exactement la même arme :

• cas $V$ : je gagne, donc le jugement décide que je ne dois rien, d’où $\overline{P}$ ;
• cas $\overline{V}$ : je perds, donc je n’ai toujours pas gagné de premier procès, et le contrat me dispense de payer, d’où $\overline{P}$.

Dans les deux cas, $\overline{P}$. Conclusion : Euathlos ne paiera rien.

Deux disjonctions sur les mêmes cas, deux conclusions contraires. Or le chapitre l’affirme : une disjonction de cas exhaustifs qui aboutit partout à la même conclusion est une démonstration. Où est la tricherie ?

La faille : deux règles, deux niveaux

Relisez les italiques. Dans chaque branche, chacun choisit la règle qui l’arrange : Protagoras invoque le jugement quand il gagne et le contrat quand il perd, Euathlos fait le choix inverse. Les deux raisonnements sont valides, mais ils ne partent pas des mêmes prémisses : « le jugement fait loi » et « le contrat fait loi » sont ici deux règles incompatibles, puisqu’elles tranchent $P$ en sens opposés dans les mêmes circonstances. D’un système de prémisses contradictoires, on déduit tout et son contraire : c’est exactement ce que le tribunal a constaté.

Il y a plus profond. Le contrat parle des procès qu’Euathlos plaidera dans sa carrière ; or le procès en cours porte sur le contrat lui-même. Le verdict est censé fixer la valeur de vérité de $P$, mais le contrat fait dépendre $P$ du verdict : la proposition $P$ n’est pas définie avant le jugement qu’elle est supposée précéder. La boucle est la même que dans « je mens » : un énoncé qui parle de sa propre évaluation cesse d’être une proposition au sens du chapitre, c’est-à-dire un énoncé vrai ou faux, une fois pour toutes.

Le cousin : le crocodile

Lucien de Samosate évoque au deuxième siècle un sophisme du même sang, le crocodile. Un crocodile enlève un enfant et promet au père : « je te le rends si tu devines correctement ce que je vais faire ». Le père répond : « tu ne le rendras pas ». Disjonction sur $R$ : « le crocodile rend l’enfant ». Si $R$, le père a deviné faux, donc le crocodile n’aurait pas dû rendre. Si $\overline{R}$, le père a deviné juste, donc le crocodile devait rendre. Chaque branche détruit la décision qu’elle décrit : la promesse fait dépendre $R$ d’une devinette qui porte sur $R$. Même maladie que le contrat de Protagoras, même diagnostic : la disjonction est parfaite, mais elle porte sur un énoncé qui n’existe pas.

Ce que vos copies doivent en retenir

La disjonction de cas est un raisonnement d’une solidité totale, à trois conditions que ce procès rend inoubliables :

1. annoncer les cas et vérifier qu’ils sont exhaustifs (et, proprement, exclusifs) : $n$ pair ou $n$ impair, $x < 0$ ou $x = 0$ ou $x > 0$ ;
2. viser le même énoncé : chaque cas doit établir la même conclusion $P$, un énoncé bien défini indépendamment du raisonnement, pas une conclusion qui change de règle du jeu selon la branche ;
3. garder les mêmes prémisses d’un cas à l’autre : changer d’hypothèse en changeant de cas, c’est plaider comme Protagoras.

Une copie qui écrit « premier cas : … donc $P$ ; deuxième cas : … donc $P$ ; les cas étant exhaustifs, $P$ est démontrée » est inattaquable. Les juges d’Athènes, eux, n’avaient pas cette chance : on raconte qu’ils reportèrent l’affaire à cent ans.

Sources

• Aulu-Gelle, Les Nuits attiques, livre V, chapitre 10 : la source antique principale du procès de Protagoras et Euathlos.
• Diogène Laërce, Vies et doctrines des philosophes illustres, livre IX (notice sur Protagoras).
• Lucien de Samosate, Les Philosophes à l’encan, où le sophisme du crocodile est mentionné parmi les casse-têtes des dialecticiens.
• Coulisses A0, pièce n°3, « Le procès du siècle (avant Jésus-Christ) » : le récit historique que cette page prolonge.