Trois preuves pour un théorème

Un théorème n’a besoin que d’une démonstration pour être vrai. Alors pourquoi en chercher trois ? Parce qu’une preuve ne dit pas seulement que c’est vrai : elle dit pourquoi. L’énoncé, une fois pour toutes : il n’existe aucun couple d’entiers naturels non nuls $(p, q)$ tel que $\sqrt{2} = \frac{p}{q}$. Trois attaques, toutes par l’absurde. Trois raisons.

1. La parité (rappel du cours)

Vous l’avez démontrée au cours, la voici en cinq lignes. On suppose $\sqrt{2} = \frac{p}{q}$ avec $p, q$ entiers non nuls et la fraction irréductible ; en élevant au carré :

$$p^2 = 2q^2.$$

Alors $p^2$ est pair, donc $p$ est pair (c’est la contraposée établie juste avant), et $p = 2k$ donne $4k^2 = 2q^2$, soit $q^2 = 2k^2$ : $q$ est pair à son tour. Deux entiers pairs dans une fraction irréductible, contradiction. La raison profonde : le facteur $2$ refuse de se répartir équitablement entre $p^2$ et $2q^2$.

2. Le chiffre des unités

Même point de départ : supposons $\sqrt{2} = \frac{a}{b}$ avec $a, b$ entiers non nuls et la fraction irréductible, d’où $a^2 = 2b^2$. Cette fois, on ne regarde que le dernier chiffre.

D’abord un lemme. Pour tout entier naturel $n$, écrivons $n = 10m + u$ où $u$ est le chiffre des unités ; alors $n^2 = 100m^2 + 20mu + u^2$, donc $n^2$ a le même chiffre des unités que $u^2$. Dix cas, une disjonction finie :

$$u : 0,\,1,\,2,\,3,\,4,\,5,\,6,\,7,\,8,\,9 \quad\longmapsto\quad u^2 \text{ finit par } 0,\,1,\,4,\,9,\,6,\,5,\,6,\,9,\,4,\,1.$$

Ainsi, pour tout entier $n$, le chiffre des unités de $n^2$ appartient à $\{0, 1, 4, 5, 6, 9\}$. En doublant chacune de ces valeurs ($0, 2, 8, 10, 12, 18$), le chiffre des unités de $2b^2$ appartient à $\{0, 2, 8\}$.

Or $a^2 = 2b^2$ : les deux nombres ont le même chiffre des unités, qui appartient donc à

$$\{0,\, 1,\, 4,\, 5,\, 6,\, 9\} \cap \{0,\, 2,\, 8\} = \{0\}.$$

Les deux membres finissent par $0$, sans échappatoire.

Exploitons-le. Si $a^2$ finit par $0$, la table ci-dessus montre que $a$ finit par $0$ (seul $u = 0$ donne un carré finissant par $0$) : donc $5$ divise $a$. Si $2b^2$ finit par $0$, alors $b^2$ finit par $0$ ou par $5$, et la même table force $b$ à finir par $0$ ou par $5$ : donc $5$ divise $b$. Voilà $5$ diviseur commun de $a$ et $b$, ce qui contredit l’irréductibilité. La raison profonde, ici, n’est pas le nombre $2$ : c’est le nombre $5$, embusqué dans notre écriture décimale.

3. La descente qui se plie

La troisième preuve se fait avec les mains. Découpez un carré de papier le long d’une diagonale : vous tenez un triangle rectangle isocèle. Nommez-le $ABC$, angle droit en $A$, petits côtés $AB = AC = q$, hypoténuse $BC = p$. Supposons $p$ et $q$ entiers (c’est exactement supposer $\sqrt{2} = \frac{p}{q}$, puisque $p^2 = 2q^2$).

Le pli. Pincez le sommet $B$ et rabattez le bord $[BA]$ exactement le long de l’hypoténuse $[BC]$ ; marquez le pli. Le sommet $A$ atterrit en un point $A'$ de $[BC]$, et le pli coupe $[AC]$ en un point $D$. Ce pliage est la réflexion d’axe la bissectrice issue de $B$ : il conserve longueurs et angles.

Récoltons. $BA' = BA = q$, donc $A'C = p - q$ : un entier. L’angle en $A'$ est l’image de l’angle droit en $A$ : le triangle $A'CD$ est rectangle en $A'$ ; comme son angle en $C$ vaut $45^\circ$, il est rectangle isocèle, donc $A'D = A'C = p - q$. Enfin $DA = DA'$ (le pli conserve les longueurs), donc son hypoténuse vaut :

$$DC = AC - AD = q - (p - q) = 2q - p,$$

un entier aussi.

Le pli a donc fabriqué, dans le coin $C$, un triangle rectangle isocèle à côtés entiers, strictement plus petit : de $p^2 = 2q^2$ on tire :

$q < p < 2q, \qquad ext{d'où} \qquad 0 < p - q < q.$ Repliez ce petit triangle : il en engendre un plus petit encore, entier lui aussi, et ainsi de suite. Or il n’existe aucune suite infinie strictement décroissante d’entiers naturels : la descente doit s’arrêter, et elle ne le peut pas. Le triangle entier de départ n’existait pas. La raison profonde : ce n’est ni $2$ ni $5$, c’est la structure même de $\mathbb{N}$, qui interdit toute chute sans fin.

Trois preuves, trois raisons

Le théorème est unique, ses pourquoi ne le sont pas. La parité révèle un fait d’arithmétique : le nombre premier $2$ ne se laisse pas équilibrer, et l’argument s’étend à toute racine d’un entier qui n’est pas un carré parfait. Le chiffre des unités montre qu’une contradiction peut se lire dans une seule colonne de l’écriture décimale, au prix d’une disjonction menée sans tricher. Le pliage transporte l’absurde en géométrie et inaugure la descente infinie, l’arme favorite de Fermat. Chercher une deuxième preuve n’est jamais du temps perdu : c’est changer de lampe pour éclairer la même pièce, et découvrir chaque fois un mur qu’on n’avait pas vu.

Sources

• Document d’accompagnement eduscol, Raisonnement et démonstration (2019) : les trois preuves y figurent, dont la descente géométrique par pliage.
• Cours A0, section 4.5 : la preuve par parité, rédigée en exercice guidé.
• Coulisses A0, pièce n°6, La preuve qui se plie en quatre : la même descente, version carré complet ; le bonus vous invitait déjà à faire le pli avec une vraie feuille.