L'affaire des côtes

L’encadré qui clôt la partie III du DM tient en dix lignes : un météorologue mort en 1953, des frontières qui changent de longueur selon qui les mesure, un article exhumé, un mot forgé en 1975. Dix lignes, c’est court pour une histoire pareille. La voici en entier.

Un quaker sur le front

Lewis Fry Richardson naît en 1881 dans une famille quaker, et il prendra au sérieux, toute sa vie, l’interdit de tuer. Pendant la Première Guerre mondiale, objecteur de conscience, il refuse de porter les armes mais pas d’aller au front : de 1916 à 1919, il conduit des ambulances de la Friends’ Ambulance Unit, rattachée à la 16e division d’infanterie française. Entre deux transports de blessés, il calcule. Car Richardson est météorologue, et il poursuit une idée que presque personne ne prend au sérieux : prévoir le temps par le calcul, en découpant l’atmosphère en cases et en y appliquant les lois de la physique. Son livre de 1922, Weather Prediction by Numerical Process, décrit la méthode trente ans avant les ordinateurs qui la rendront praticable. On y trouve aussi deux vers restés célèbres sur les tourbillons qui contiennent des tourbillons plus petits, qui en contiennent de plus petits encore : « Big whirls have little whirls that feed on their velocity, and little whirls have lesser whirls and so on to viscosity. » Retenez l’image, des structures semblables à toutes les échelles : elle va revenir.

En 1920, le service météorologique britannique passe sous l’autorité du ministère de l’Air. Richardson démissionne, par conscience : il ne travaillera pas pour des militaires. L’histoire, rapportée par le mathématicien Thomas Körner, veut qu’en découvrant que ses recherches sur la turbulence intéressaient les concepteurs d’armes chimiques, il ait détruit ses travaux non publiés.

La question que personne ne posait

Puisqu’il refuse de servir la guerre, Richardson entreprend de la comprendre. Il consacre ses dernières décennies à compter les conflits, leurs morts, leurs circonstances, avec les outils du statisticien ; ses deux sommes, Arms and Insecurity et Statistics of Deadly Quarrels (paru en 1960, après sa mort), fondent l’étude quantitative des guerres. Parmi ses hypothèses de travail : la probabilité que deux pays voisins entrent en guerre pourrait dépendre de la longueur de leur frontière commune. Pour la tester, il lui faut des longueurs de frontières. Il ouvre donc les annuaires et les atlas, et tombe sur une absurdité.

La frontière entre l’Espagne et le Portugal, la même ligne sur le même sol, est donnée à $987$ km dans certaines publications et à $1\,214$ km dans d’autres : un écart de $227$ km, près d’un quart de la plus petite valeur. Entre les Pays-Bas et la Belgique, on trouve $380$ km ici et $449$ km là. Et n’espérez pas savoir quel pays déclarait quel chiffre : les sources modernes se contredisent sur l’attribution, ce qui est une seconde leçon de prudence logée dans la première.

La raison de l’écart n’était pas politique, et personne ne mentait.

L’effet Richardson

Richardson comprend d’où vient l’écart en refaisant les mesures lui-même, au compas à pointes sèches, sur des cartes. On règle l’ouverture du compas sur un pas fixe, on fait marcher le compas le long de la frontière, on compte les pas, on multiplie. Puis on recommence avec un pas plus petit. Et là, le sol se dérobe : plus le pas est court, plus la ligne épouse les détails, les méandres des fleuves, les découpes des caps, et plus la longueur totale augmente. Elle augmente à chaque raffinement, sans donner le moindre signe de se stabiliser. Deux administrations qui mesurent avec des pas différents obtiennent deux longueurs différentes, et toutes deux sont sincères : la « longueur de la frontière » n’existe pas comme nombre unique.

Vous connaissez ce phénomène de l’intérieur, c’est la partie I du DM : à chaque étape, la règle raccourcit d’un facteur $3$ et la longueur est multipliée par $\frac43$. Le bord du flocon est une côte idéale, débarrassée de la géographie.

Richardson consigne ses mesures et en tire une loi empirique : reportés sur papier logarithmique, ses points s’alignent, et chaque côte possède sa pente caractéristique, douce pour les côtes lisses, raide pour les côtes déchiquetées. Puis il range le tout dans un texte qui ne paraîtra qu’en 1961, huit ans après sa mort, sous un titre d’une modestie parfaite, « The Problem of Contiguity », en appendice à sa statistique des conflits, dans un annuaire de théorie des systèmes que presque personne ne lisait.

1967 : la question la plus célèbre de la géographie

Six ans plus tard, Benoît Mandelbrot, mathématicien franco-américain alors chercheur chez IBM, exhume ces données et en fait le titre d’un article de trois pages dans Science : « How Long Is the Coast of Britain? ». Combien mesure la côte de Grande-Bretagne ? La réponse de l’article est qu’il n’y a pas de réponse : la question est mal posée, la longueur croît sans limite quand le pas décroît. Mais Mandelbrot voit ce que la pente de Richardson mesure vraiment. Ce n’est pas une longueur, c’est une dimension : un nombre qui dit à quelle vitesse une ligne fabrique du détail quand on s’en approche, très exactement le rôle que joue le critère $M_n(s)$ de votre partie III. Une côte n’est pas une courbe de dimension $1$ ; elle n’est pas davantage une surface de dimension $2$ ; elle est entre les deux. Pour la côte ouest de la Grande-Bretagne, très découpée, il lit environ $1{,}25$ ; pour la côte sud-africaine, presque lisse, environ $1{,}02$.

Relisez R5 : la dimension du bord du flocon vaut $\frac{\ln 4}{\ln 3} \approx 1{,}26$. Au sens de cette mesure, la côte ouest de la Grande-Bretagne est à peine plus lisse que votre monstre. Von Koch avait dessiné en 1904, pour des raisons de logique interne, un objet dont la nature, à l’échelle des nations, fabriquait déjà des exemplaires.

1975 : le mot

Il manquait un nom. Mandelbrot le forge en 1975, du latin fractus, brisé : fractal. Et il le forge en français d’abord : le mot paraît dans Les objets fractals : forme, hasard et dimension, publié chez Flammarion, deux ans avant la version anglaise. Le monstre de 1904, conçu comme un contre-exemple, salué d’« effroi et horreur » dans la correspondance d’Hermite, devenait l’objet générique d’une géométrie nouvelle : celle des côtes, des nuages, des poumons, des réseaux de rivières, tous ces objets que la géométrie des droites et des cercles déclarait informes, et que la dimension fractionnaire rend mesurables.

Ce que votre compas savait déjà

Reprenez la question Q34 de l’annexe : recouvrir la courbe d’une grille de plus en plus fine et compter les carrés touchés, c’est le compas de Richardson version machine, et l’écart entre vos rapports mesurés et le $4$ théorique est de la même étoffe que celui qui sépare une vraie côte de son modèle idéal. Reprenez la question Q6 : votre triangle d’un mètre, dont le bord finit par dépasser la distance de la Terre à la Lune sans jamais sortir de la feuille, est la version démontrée de ce que les annuaires de frontières constataient sans le comprendre. L’encadré du DM se refermait sur une phrase : le monstre était devenu un instrument de mesure du monde. Vous savez maintenant tout ce qu’elle contient.

Sources

• « Lewis Fry Richardson », Wikipédia (en) : la biographie, le pacifisme quaker, la Friends’ Ambulance Unit (1916-1919), la démission de 1920, les ouvrages de statistique des conflits, et les écarts de mesure des frontières (Espagne-Portugal, Pays-Bas-Belgique).
• « Coastline paradox », Wikipédia (en) : la méthode du compas à pointes sèches, l’effet Richardson, et la publication posthume : « The Problem of Contiguity: An Appendix to Statistics of Deadly Quarrels », General Systems Yearbook, vol. 6, 1961, p. 139-187.
• « How Long Is the Coast of Britain? », Wikipédia (en) : l’article de Mandelbrot, Science, vol. 156, n° 3775, 5 mai 1967, p. 636-638, et les dimensions empiriques citées ($1{,}25$ et $1{,}02$).
• « Fractale », Wikipédia (fr) et « Benoît Mandelbrot », Wikipédia (fr) : le mot forgé en 1975 à partir de fractus, Les objets fractals (Flammarion, 1975), la version anglaise de 1977, la carrière chez IBM.
• DM1 A1, « Le monstre de 1904 » : les encadrés « publié en 1961, huit ans après sa mort » et « une remarque d’échelle », que cette page prolonge, ainsi que la citation d’Hermite du prologue.