A1 · Algebre

A1 · Suites : limites

Deux sommes jumelles : l'une explose, l'autre s'arrête

« Lorsque les valeurs successivement attribuées à une même variable s'approchent indéfiniment d'une valeur fixe, de manière à finir par en différer aussi peu que l'on voudra, cette dernière est appelée la limite de toutes les autres. »

— Augustin-Louis Cauchy, Cours d'analyse de l'École royale polytechnique, 1821

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Phase 1 · ~5-10 min

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Trois idées clés

Voir les cartes →

•Une suite converge vers $\ell$ lorsque tout intervalle ouvert contenant $\ell$ finit par contenir tous ses termes
•La suite $(q^n)$ est la pièce maîtresse : quatre régimes selon la position de $q$
•Le théorème de la limite monotone prouve qu'une limite existe sans donner sa valeur

ACT-A1 Le calcul du 30 mai 1799 : deux moyennes lancées l'une après l'autre, et un nombre que l'algèbre ne sait pas écrire

COURS-A1 Sections 1 et 2 : changer de regard sur les suites, puis définir la limite

Phase 2 · ~10-15 min

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L'essentiel en cinq questions

5 questions · ~4 min · ★★

Régimes de q^n, formes indéterminées, gendarmes, limite monotone

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Le tour complet du chapitre

15 questions · ~12 min · ★★★

QCM, V/F, chasse à l'erreur, associations

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Limites à vue

10 verdicts · ~8 min · ★★★★

Trancher le comportement d'une suite sans poser le calcul

EXO-A1 L'Atelier : 31 exercices, des premiers pas asymptotiques au laboratoire Python

Phase 3 · ~5-10 min

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Consolide l'essentiel avec les formules et flashcards

Formules essentielles

Memento

La définition

$(u_n)$ converge vers $\ell$ lorsque tout intervalle ouvert contenant $\ell$ contient tous les termes à partir d'un certain rang : $\forall \varepsilon > 0,\ \exists N \in \mathbb{N},\ \forall n \geqslant N,\ |u_n - \ell| < \varepsilon$. La convergence ne parle que de la fin de la suite.

Trois comportements, pas deux

Convergente, divergente vers $\pm\infty$, ou sans limite : le troisième cas est celui qu'on oublie. $\left((-1)^n\right)$ ne converge pas et ne tend vers aucun infini.

Limites de référence

Pour tout entier $k \geqslant 1$ : $n^k$ et $\sqrt{n}$ tendent vers $+\infty$ ; $\frac{1}{n^k}$ et $\frac{1}{\sqrt{n}}$ tendent vers $0$.

Les quatre formes indéterminées

$\infty - \infty$, $0 \times \infty$, $\frac{\infty}{\infty}$, $\frac{0}{0}$ : la forme ne décide de rien, il faut aller voir. Les leviers : facteur dominant, quantité conjuguée, encadrement.

Gendarmes et comparaison

Encadrée par deux suites qui convergent vers la même limite : converge aussi (et c'est un théorème d'existence). Minorée par une suite qui tend vers $+\infty$ : diverge vers $+\infty$.

Les quatre régimes de $q^n$

$q > 1$ : vers $+\infty$ (par Bernoulli, $(1+a)^n \geqslant 1 + na$) ; $q = 1$ : constante ; $|q| < 1$ : vers $0$ ; $q \leqslant -1$ : pas de limite.

Sommer une géométrique

$1 + q + \cdots + q^n = \frac{1-q^{n+1}}{1-q}$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ et tout $q \neq 1$ ; si $|q| < 1$, la somme tend vers $\frac{1}{1-q}$. Vérifier $|q| < 1$ avant d'appliquer : c'est l'erreur de Grandi.

La limite monotone

Croissante et majorée : converge, sans dire vers quoi. La limite n'est pas le majorant, on sait seulement $\ell \leqslant M$. Croissante et non majorée : vers $+\infty$.

Flashcards · 25 cartes · 5 catégories

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FICHE-A1 La carte mentale du chapitre, les outils, et les quatre pièges qui coûtent des points

COURS-A1 La suite géométrique, pièce maîtresse (section 4) et le théorème qui répond à la question (section 5)

Automatismes : le cahier de calcul

Projet Cahier de calcul (coord. Colas Bardavid), consultable sur le site des auteurs.

Phase 4

Aller plus loin

Ressources complementaires et approfondissement

Les pièces des Coulisses rouvrent les tiroirs du cours : Grandi et la sommation de Cesàro, la constante gamma et sa frontière ouverte, Newton caché derrière Héron, Malthus contre Verhulst. Les deux tiroirs restés ouverts s'ouvrent ici.

Les Coulisses n°2

L'affaire des côtes

Un pacifiste compte les guerres, deux pays mesurent la même frontière, personne n'obtient le même nombre : le récit complet de l'encadré Richardson.

La pierre de Leyde

Trente-cinq décimales gravées sur une tombe, une dalle disparue, deux copistes providentiels et un prince pour l'inauguration.

Les correcteurs de l'école du Kerala

Deux siècles avant Snell, Madhava corrigeait déjà ses séries : trois termes correcteurs qui valent des milliers de milliards de termes.

Les cinq problèmes de 1657

Huygens clôt le premier traité de probabilités par cinq défis sans démonstration. Voici leurs textes, et le nombre du cinquième.

Bâle, 9 septembre 1713

Cinq problèmes dans une lettre, une réponse expédiée en une phrase, et vingt-cinq ans pour comprendre « quelque chose de fort curieux ».

Le récit des huit histoires