0,999... : la réponse au Vrai ou légende

Les Coulisses ont refermé leur rideau sur une affirmation à trancher : « Le nombre $0{,}999\ldots$, avec une infinité de $9$, est strictement inférieur à $1$. » Voici le verdict, puis trois démonstrations de force croissante, puis, surtout, ce que cette égalité enseigne réellement.

Le verdict

Légende. L’affirmation est fausse : le nombre $0{,}999\ldots$ est exactement égal à $1$.

$$\boxed{\ 0{,}999\ldots = 1\ }$$

Pas « presque égal », pas « égal à la limite », pas « égal si on arrondit » : égal. Les deux écritures $0{,}999\ldots$ et $1$ désignent le même nombre réel, comme $\frac12$ et $0{,}5$ désignent le même nombre réel. Toute la difficulté est de comprendre pourquoi ce fait, parfaitement démontrable, déclenche tant de résistance ; on y revient après les preuves.

Premier argument : le tiers multiplié par trois

C’est l’argument de cour de récréation, et il n’est pas méprisable. Tout le monde accepte l’écriture

$$\frac13 = 0{,}333\ldots$$

Multiplions les deux membres par $3$ : à gauche, $3 \times \frac13 = 1$ ; à droite, chaque décimale $3$ devient un $9$, d’où $0{,}999\ldots$ Donc $0{,}999\ldots = 1$.

Sa force : il convainc en dix secondes, car il ne demande d’accepter qu’une écriture familière, celle que la division posée de $1$ par $3$ produit sous vos yeux.

Sa faiblesse : il déplace le problème au lieu de le régler. Qui doute de $0{,}999\ldots = 1$ devrait douter tout autant de $\frac13 = 0{,}333\ldots$, qui est une égalité de même nature entre un nombre et une écriture infinie ; et multiplier terme à terme une infinité de décimales est une opération qu’il faudrait justifier. Cet argument est un excellent détecteur d’incohérence (on ne peut pas accepter l’une des deux égalités et refuser l’autre), mais ce n’est pas encore une démonstration.

Deuxième argument : la somme géométrique, l’outil du chapitre

C’est l’exercice 11 de l’Atelier, question 3, dont le corrigé donne la rédaction modèle. Par définition, $0{,}999\ldots$ est la limite de la suite de ses troncatures : la suite $(d_n)$ définie par

$$\forall n \in \mathbb{N}^*, \quad d_n = \underbrace{0{,}99\ldots9}_{n \text{ chiffres}} = \sum_{k=1}^{n} \frac{9}{10^k}.$$

C’est la somme des $n$ premiers termes d’une suite géométrique de premier terme $\frac{9}{10}$ et de raison $\frac{1}{10}$, donc :

$$\forall n \in \mathbb{N}^*, \quad d_n = \frac{9}{10} \times \frac{1 - \left(\frac{1}{10}\right)^{n}}{1 - \frac{1}{10}} = 1 - \frac{1}{10^n}.$$

Or $0 < \frac{1}{10} < 1$, donc $\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{10^n} = 0$ (limite de la suite géométrique $\left(q^n\right)$ pour $|q| < 1$, théorème du chapitre), et par somme :

$$\lim_{n \to +\infty} d_n = 1, \qquad \text{c'est-à-dire} \qquad 0{,}999\ldots = 1.$$

Sa force : tout y est défini, tout y est démontré, avec les seuls outils de A1. Remarquer au passage que chaque troncature vérifie $d_n = 1 - \frac{1}{10^n} < 1$ : aucun terme de la suite n’atteint $1$, et pourtant la limite vaut $1$. Il n’y a là aucune contradiction, c’est la différence, martelée par tout le chapitre, entre un terme et une limite.

Troisième argument : aucun écart possible

Le deuxième argument calcule la limite. Le troisième va plus loin : il montre que rien d’autre n’était possible, sans même utiliser la formule de la somme géométrique. Notons $x = 0{,}999\ldots$ la limite de $(d_n)$, dont l’existence est acquise (la suite $(d_n)$ est croissante et majorée par $1$ : elle converge, par le théorème de la limite monotone).

Mesurons l’écart $1 - x$. La suite $(d_n)$ étant croissante de limite $x$, on a $\forall n \in \mathbb{N}^*,\ d_n \leqslant x$, donc :

$$\forall n \in \mathbb{N}^*, \quad 0 \leqslant 1 - x \leqslant 1 - d_n = \frac{1}{10^n}.$$

Le nombre $1 - x$ est donc un réel positif inférieur ou égal à $\frac{1}{10^n}$ pour tout $n$. Supposons par l’absurde $1 - x > 0$. Comme $\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{10^n} = 0$, il existe un rang $N$ tel que $\frac{1}{10^N} < 1 - x$ (c’est la définition même de la limite, appliquée à la marge $\varepsilon = 1 - x$). Mais l’encadrement ci-dessus au rang $N$ donne $1 - x \leqslant \frac{1}{10^N}$ : contradiction. Donc :

$$1 - x = 0, \qquad \text{c'est-à-dire} \qquad \boxed{\ 0{,}999\ldots = 1\ }$$

Sa force : il désarme l’objection la plus fréquente, « il reste toujours un petit quelque chose entre $0{,}999\ldots$ et $1$ ». Ce petit quelque chose, on vient de le traquer : c’est un réel positif plus petit que $\frac{1}{10}$, que $\frac{1}{100}$, que $\frac{1}{10^n}$ pour tout $n$. Le seul réel qui survit à cette exigence est $0$. Dans les nombres réels, il n’existe pas d’« infiniment petit non nul » : deux réels dont l’écart est inférieur à toute puissance inverse de $10$ sont le même réel.

Ce que l’égalité dit vraiment

Le désaccord avec les sceptiques ne porte presque jamais sur les démonstrations, il porte sur la définition, et c’est ce que le défi de l’exercice 11 vous demandait de formuler. Deux idées suffisent à tout dissiper.

Une écriture décimale illimitée est une limite. L’écriture $0{,}999\ldots$ ne désigne pas un processus (« des 9 qu’on n’a jamais fini d’écrire »), ni le dernier terme d’une liste (il n’y en a pas) : elle désigne un nombre, défini comme la limite de la suite de ses troncatures. Tant que cette convention n’est pas posée, la question « $0{,}999\ldots$ vaut-il $1$ ? » n’a pas de sens, car son membre de gauche n’est pas défini. Une fois qu’elle l’est, la question devient un calcul de limite, et le chapitre A1 le règle en trois lignes. L’intuition qui proteste (« ça n’atteint jamais $1$ ») décrit correctement la suite des troncatures, qui en effet n’atteint jamais $1$ ; elle se trompe seulement d’objet, car le nombre $0{,}999\ldots$ n’est pas un terme de cette suite, c’est sa limite.

Deux écritures peuvent nommer le même nombre. Rien n’oblige un nombre réel à posséder une seule écriture décimale. L’égalité $0{,}999\ldots = 1$ n’est pas un accident isolé mais le prototype d’un phénomène général : tout nombre décimal non nul (tout nombre qui admet une écriture finie) possède exactement deux écritures illimitées, l’une qui se termine par des $0$, l’autre par des $9$. Ainsi $2{,}5 = 2{,}4999\ldots$ et $0{,}125 = 0{,}124999\ldots$, par le même calcul de somme géométrique que ci-dessus. Tous les autres réels, eux, n’ont qu’une écriture. La « bizarrerie » n’est donc pas dans les nombres, elle est dans le système de numération : notre façon d’écrire les réels a un léger défaut de doublon, exactement comme « $\frac12$ » et « $\frac24$ » doublonnent chez les fractions sans que personne ne s’en émeuve.

En une phrase : l’écriture $0{,}999\ldots$ est un deuxième nom du nombre $1$, et le chapitre A1 fournit tout ce qu’il faut pour le démontrer, de trois manières.

Sources

• Coulisses A1, rubrique « Vrai ou légende ? » : l’affirmation ici jugée.
• Atelier A1, exercice 11, question 3 et son défi ; corrigé de l’Atelier, rédaction modèle « le nombre $0{,}999\ldots$ » : la version somme géométrique, et la discussion de la définition.
• Cours A1 : définition de la limite (§ 2), limite de $\left(q^n\right)$ et sommes géométriques (§ 4), théorème de la limite monotone (§ 5).
• « 0,999… », Wikipédia (fr) : un panorama des démonstrations et de la double écriture décimale des nombres décimaux.