Les réponses du sommet

La dernière page du DM l’a promis : les réponses aux questions du sommet vous attendent sur le compagnon numérique. Le sommet, c’est la partie IV, « la géométrie du bord », six questions de Q25 à Q30, toutes marquées ◆ dans le plan de l’édifice. Les voici, démonstrations complètes à l’appui. Le reste du DM n’a pas de corrigé, et c’est voulu : seul le sommet a droit à sa carte. Un conseil qui n’est pas de pure forme : ne lisez rien de ce qui suit avant d’avoir tenté l’ascension, une solution lue trop tôt est une question perdue.

Q25 · Le chapeau

Rappel de la définition : le chapeau d’un segment $[AB]$ de longueur $\ell$ est le triangle isocèle de base $[AB]$ dont le sommet, le pic construit par le générateur, domine le milieu de $[AB]$ à la hauteur $\dfrac{\ell\sqrt3}{6}$. Toute la partie IV tient dans cette petite figure.

a) Les cinq points du générateur

On place $A = (0\,;0)$ et $B = (1\,;0)$, donc $\ell = 1$. Le générateur découpe $[AB]$ en trois tiers, dresse sur le tiers central un triangle équilatéral tourné vers le haut, et efface sa base. Les cinq points de la ligne brisée sont, dans l’ordre du parcours :

$$(0\,;0), \quad \left(\tfrac13\,;0\right), \quad S = \left(\tfrac12\,;\tfrac{\sqrt3}{6}\right), \quad \left(\tfrac23\,;0\right), \quad (1\,;0).$$

Le pic $S$ est le sommet d’un triangle équilatéral de côté $\frac13$ : d’après Q2.a), sa hauteur vaut $\frac{\sqrt3}{2} \times \frac13 = \frac{\sqrt3}{6}$, portée par la médiatrice du tiers central, la droite d’équation $x = \frac12$. Le pic est donc bien à la hauteur $\frac{\ell\sqrt3}{6}$ annoncée, avec $\ell = 1$.

b) Deux sommets sur la droite (AS)

La droite $(AS)$ passe par l’origine et par $S = \left(\frac12\,;\frac{\sqrt3}{6}\right)$ : son coefficient directeur vaut $\frac{\sqrt3/6}{1/2} = \frac{\sqrt3}{3}$, d’où l’équation annoncée $y = \frac{\sqrt3}{3}\,x$. Il reste à tester les deux points.

• Pour $\left(\frac16\,;\frac{\sqrt3}{18}\right)$ : $\frac{\sqrt3}{3} \times \frac16 = \frac{\sqrt3}{18}$. Le point est sur la droite.
• Pour $\left(\frac13\,;\frac{\sqrt3}{9}\right)$ : $\frac{\sqrt3}{3} \times \frac13 = \frac{\sqrt3}{9}$. Lui aussi.

D’où viennent ces coordonnées ? Le premier point est le sommet du chapeau du segment $\left[A\,;\left(\frac13\,;0\right)\right]$ : base de longueur $\frac13$, milieu $\left(\frac16\,;0\right)$, hauteur $\frac13 \times \frac{\sqrt3}{6} = \frac{\sqrt3}{18}$. Le second est le sommet du chapeau du segment joignant $\left(\frac13\,;0\right)$ à $S$, qui mesure lui aussi $\frac13$ : milieu $\left(\frac{5}{12}\,;\frac{\sqrt3}{12}\right)$, puis la hauteur $\frac{\sqrt3}{18}$ portée perpendiculairement au segment, ce qui conduit exactement à $\left(\frac13\,;\frac{\sqrt3}{9}\right)$ (calcul refait en coordonnées exactes).

c) Les quatre chapeaux logés dans le grand

Le chapeau de $[AB]$ est un triangle, donc une partie convexe du plan : s’il contient les trois sommets d’un triangle, il le contient tout entier. Il suffit donc de loger les sommets des quatre petits chapeaux.

• Chapeau du premier segment : deux sommets sur la base $[AB]$, et son pic $\left(\frac16\,;\frac{\sqrt3}{18}\right)$ est sur le segment $[AS]$ d’après b), puisque $0 \leqslant \frac16 \leqslant \frac12$.
• Chapeau du deuxième segment : un sommet sur la base, un sommet en $S$ (qui est un sommet du grand chapeau), et son pic $\left(\frac13\,;\frac{\sqrt3}{9}\right)$ sur $[AS]$ d’après b), puisque $0 \leqslant \frac13 \leqslant \frac12$.
• Troisième et quatrième segments : la réflexion d’axe $x = \frac12$ échange le premier chapeau avec le quatrième et le deuxième avec le troisième, tout en laissant le chapeau de $[AB]$ invariant. Les deux cas restants s’en déduisent sans un calcul de plus.

Les quatre chapeaux engendrés sont donc contenus dans le chapeau de départ.

d) La récurrence

Pour $n \in \mathbb{N}$, notons $H(n)$ l’énoncé : « chacun des $4^n$ côtés de la ligne brisée de niveau $n$ construite sur $[AB]$ a son chapeau contenu dans le chapeau de $[AB]$ ».

• Initialisation. Au niveau $0$, l’unique côté est $[AB]$ lui-même : son chapeau est contenu dans lui-même. $H(0)$ est vraie.
• Hérédité. Soit $n \in \mathbb{N}$ tel que $H(n)$ soit vraie. Tout côté du niveau $n+1$ provient du générateur appliqué à un côté $[PQ]$ du niveau $n$. Or la configuration « segment, ses quatre chapeaux engendrés, son chapeau » sur $[PQ]$ est l’image de la même configuration sur $[AB]$ par une similitude (une homothétie composée avec une rotation et une translation), et une similitude conserve les inclusions. La question c) se transporte donc telle quelle : les quatre chapeaux nés de $[PQ]$ sont contenus dans le chapeau de $[PQ]$, lui-même contenu dans le chapeau de $[AB]$ par hypothèse de récurrence. $H(n+1)$ est vraie.
• Conclusion. Par le principe de récurrence, $H(n)$ est vraie pour tout $n \in \mathbb{N}$.

Chaque côté étant la base de son propre chapeau, chaque ligne brisée est contenue dans la réunion des chapeaux de ses côtés, donc :

$$\boxed{\forall n \in \mathbb{N},\quad \text{la ligne brisée de niveau } n \text{ construite sur } [AB] \text{ est contenue dans le chapeau de } [AB]}$$

L’aveu honnête. L’énoncé conclut « la courbe de Koch est contenue dans le chapeau », et la courbe est l’objet limite, pas une ligne de niveau $n$. Le pas manquant : tout point de la courbe est limite de sommets des lignes brisées, et le chapeau, région fermée du plan, contient les limites de ses points. Ce passage à la limite est admis au niveau du DM, comme l’est déjà l’existence de la courbe elle-même.

Q26 · La dette payée

a) L’hexagone

Q25 vaut pour chacun des trois côtés du triangle de départ $F_0$ : tout ce que la construction engendre sur un côté reste, à toute étape, dans le chapeau de ce côté. Donc :

$$\forall n \in \mathbb{N},\quad F_n \subset F_0 \cup H_1 \cup H_2 \cup H_3,$$

où $H_1$, $H_2$, $H_3$ désignent les chapeaux des trois côtés de $F_0$ : une figure fixe, indépendante de $n$. Reste à la reconnaître. Ses sommets sont les trois sommets du triangle et les trois pics des chapeaux. Ses six côtés sont les arêtes égales des chapeaux : chacune mesure, par le théorème de Pythagore dans un demi-chapeau,

$$\sqrt{\left(\frac a2\right)^2 + \left(\frac{a\sqrt3}{6}\right)^2} = a\sqrt{\frac14 + \frac1{12}} = a\sqrt{\frac13} = \frac{a\sqrt3}{3}.$$

Ses six angles valent tous $120^\circ$ : en un sommet du triangle se cumulent les $60^\circ$ du triangle équilatéral et les angles à la base de deux chapeaux, qui valent $30^\circ$ chacun (ils vérifient $\tan\theta = \frac{a\sqrt3/6}{a/2} = \frac{\sqrt3}{3}$) ; en un pic, l’angle au sommet d’un triangle isocèle d’angles à la base $30^\circ$ vaut $180^\circ - 2\times 30^\circ = 120^\circ$. Six côtés égaux, six angles égaux : c’est un hexagone régulier, de côté $\frac{a\sqrt3}{3}$.

b) Son aire vaut exactement 2A₀

L’hexagone se décompose en le triangle $F_0$, d’aire $A_0$, et les trois chapeaux. Chaque chapeau a pour aire $\frac12 \times a \times \frac{a\sqrt3}{6} = \frac{a^2\sqrt3}{12} = \frac{A_0}{3}$, puisque $A_0 = \frac{\sqrt3}{4}a^2$ (R1). Donc :

$$\text{aire de l'hexagone} = A_0 + 3 \times \frac{A_0}{3} = 2A_0.$$

Contrôle par la formule de l’hexagone régulier de côté $c$, d’aire $\frac{3\sqrt3}{2}c^2$ : avec $c = \frac{a\sqrt3}{3}$, on retrouve $\frac{3\sqrt3}{2} \times \frac{a^2}{3} = \frac{\sqrt3}{2}a^2 = 2A_0$.

$$\boxed{\forall n \in \mathbb{N},\quad F_n \text{ est contenue dans un même hexagone régulier, d'aire } 2A_0}$$

C’est mot pour mot ce que Q11 admettait. La dette est payée.

c) Pourquoi pas la formule de Q12 ?

Deux raisons, une petite et une profonde.

La petite : la formule fermée de Q12 donne déjà tout. Si on l’utilise pour majorer, on connaît la limite avant d’avoir prouvé qu’elle existe, et le théorème de la limite monotone (R4), convoqué par Q11 précisément pour garantir l’existence d’une limite dont on ignore la valeur, devient un décor.

La profonde, celle que la question vise : en établissant la récurrence de Q9, on a admis sans le dire que les $3 \times 4^{n}$ petits triangles ajoutés sont d’intérieurs deux à deux disjoints, et disjoints de la figure $F_n$ : sans cela, « l’aire ajoutée » ne serait pas la somme de leurs aires, et la formule de Q12, qui en découle, ne serait pas justifiée. Or ce fait est précisément de la géométrie de chapeaux : chaque petit triangle vit dans le chapeau de son côté, et ces chapeaux ne se chevauchent pas (voir le d) ci-dessous). Majorer $A_n$ par la formule de Q12, c’était donc s’appuyer sur le comptage que la partie IV est justement en train de fonder. L’hexagone, lui, est un majorant extérieur : il n’exige aucun comptage, seulement l’inclusion de Q25.

Au passage, le majorant le plus tentant ne convenait pas : l’étoile à six branches $F_1$ elle-même. La suite $(A_n)$ est strictement croissante : dès l’étape suivante, $A_2 > A_1$, et une figure ne loge pas dans une région d’aire strictement plus petite que la sienne. Le majorant honnête devait être extérieur à toute la construction, et l’hexagone des chapeaux est exactement cela.

d) La courbe ne se recoupe jamais

Les quatre chapeaux du c) ont des intérieurs deux à deux disjoints. Or tout ce qui sera construit sur un côté reste dans le chapeau de ce côté : deux arcs bâtis sur deux côtés distincts d’une même ligne brisée ne peuvent donc se rencontrer qu’aux extrémités communes de ces côtés. Aucune étape de la construction ne crée de croisement, et de proche en proche :

$$\boxed{\text{la courbe de Koch est simple : elle ne se recoupe jamais}}$$

C’est le second dividende de la même démonstration, presque toujours admis sans un mot dans les présentations usuelles du flocon. Il garantit que le flocon délimite une véritable région du plan, dont parler de l’aire a un sens.

Q27 · L’anti-flocon

a) Même périmètre, exactement

Le générateur remplace chaque côté de longueur $\ell$ par quatre côtés de longueur $\frac{\ell}{3}$, que le petit triangle soit dressé vers l’extérieur ou creusé vers l’intérieur : l’orientation du pic ne change ni le nombre de côtés ni leur longueur. Les suites « nombre de côtés » et « longueur d’un côté » de l’anti-flocon vérifient donc les mêmes relations de récurrence que $C_n$ et $L_n$, avec les mêmes valeurs initiales ($3$ côtés de longueur $a$) : par récurrence immédiate, elles leur sont égales. Pour tout $n \in \mathbb{N}$, le périmètre de l’anti-flocon à l’étape $n$ vaut $C_n \times L_n = P_n$ : celui du flocon, exactement.

b) La somme des aires est constante

Lors du passage de l’étape $n$ à l’étape $n+1$, l’anti-flocon perd exactement ce que le flocon gagnait : $3 \times 4^{n}$ triangles équilatéraux (le compte de Q7 ne dépend pas de l’orientation) d’aire $\frac{A_0}{9^{\,n+1}}$ chacun (Q8). Ces triangles sont creusés dans la figure et leurs intérieurs sont deux à deux disjoints (leurs contacts éventuels sont ponctuels, voir la remarque plus bas), donc leurs aires se retranchent :

$$\forall n \in \mathbb{N},\quad B_{n+1} - B_n = -\frac{A_0}{3}\left(\frac49\right)^{n} = -\left(A_{n+1} - A_n\right).$$

La suite $(A_n + B_n)$ est donc constante, de valeur initiale $A_0 + B_0 = 2A_0$ :

$$\boxed{\forall n \in \mathbb{N},\quad A_n + B_n = 2A_0}$$

On retranche exactement ce que l’on ajoutait : flocon et anti-flocon se partagent un budget d’aire constant de $2A_0$, la valeur même de l’hexagone de Q26.

c) L’aire de l’anti-flocon et sa limite

De b) et de la formule de Q12.b) :

$$\forall n \in \mathbb{N},\quad B_n = 2A_0 - A_0\left[\frac85 - \frac35\left(\frac49\right)^{n}\right] = A_0\left[\frac25 + \frac35\left(\frac49\right)^{n}\right].$$

Contrôle au rang $0$ : $\frac25 + \frac35 = 1$, donc $B_0 = A_0$, comme il se doit. Comme $\left|\frac49\right| < 1$, R3 donne $\lim\limits_{n \to +\infty} \left(\frac49\right)^{n} = 0$, d’où, par opérations sur les limites :

$$\boxed{\lim_{n \to +\infty} B_n = \frac25\,A_0}$$

d) Le rapport 4

$$\frac{\lim\limits_{n \to +\infty} A_n}{\lim\limits_{n \to +\infty} B_n} = \frac{\frac85 A_0}{\frac25 A_0} = 4.$$

La conclusion demandée : voici deux figures qui ont, à chaque étape de leur construction, exactement le même périmètre, et dont les aires limites sont pourtant dans un rapport entier, l’aire du flocon valant quatre fois celle de l’anti-flocon. Le périmètre d’une figure ne renseigne à peu près en rien sur son aire, et ces deux jumeaux le prouvent avec une netteté insolente.

La remarque promise sur les contacts. Dès la première étape, les trois encoches de l’anti-flocon se rejoignent : la profondeur d’une encoche vaut $\frac{a\sqrt3}{6}$, qui est exactement la distance du milieu d’un côté au centre de gravité du triangle. Les trois pics creusés se touchent donc au centre, en un point unique. Ces contacts ponctuels ne portent aucune aire : les intérieurs restent disjoints et le calcul de b) tient. Le bord du flocon, lui, ne se touche jamais (Q26.d) : c’est une différence de nature entre les deux jumeaux.

Q28 · Deux fourmis

a) Le minorant

À l’étape $n$, avec $n \geqslant p$, la copie réduite de rapport $\frac{1}{3^{p}}$ contenue dans l’arc $MN$ n’a encore été subdivisée que $n - p$ fois : c’est toute la subtilité de la question. La portion de la ligne brisée de niveau $n$ qui la parcourt est l’image, par une similitude de rapport $\frac{1}{3^{p}}$, de la ligne de niveau $n-p$ construite sur un segment de longueur $a$ ; or la ligne de niveau $k$ sur un tel segment compte $4^{k}$ côtés de longueur $\frac{a}{3^{k}}$ (Q3 et Q4, transposées à un seul côté), soit une longueur $a\left(\frac43\right)^{k}$. La longueur de l’arc $MN$ à l’étape $n$, notée $\ell_n$, est donc minorée par celle de la copie :

$$\forall n \geqslant p,\quad \ell_n \geqslant \frac{a}{3^{p}}\left(\frac43\right)^{n-p}.$$

L’identité annoncée est une simple réécriture :

$$\frac{a}{3^{p}}\left(\frac43\right)^{n-p} = a \times \frac{4^{\,n-p}}{3^{\,n-p} \times 3^{p}} = a \times \frac{4^{\,n}}{3^{\,n} \times 4^{p}} = \frac{a}{4^{p}}\left(\frac43\right)^{n}.$$

b) La divergence

La raison $\frac43$ est strictement supérieure à $1$ : d’après R3, $\lim\limits_{n \to +\infty} \left(\frac43\right)^{n} = +\infty$, donc $\lim\limits_{n \to +\infty} \frac{a}{4^{p}}\left(\frac43\right)^{n} = +\infty$ (produit par la constante $\frac{a}{4^{p}} > 0$). La suite $(\ell_n)$ est minorée, à partir du rang $p$, par une suite qui tend vers $+\infty$ : par le théorème de divergence par minoration du cours A1,

$$\boxed{\lim_{n \to +\infty} \ell_n = +\infty}$$

c) La traduction

À vol d’oiseau, un millimètre. Le long du bord, un chemin dont la longueur finit par dépasser n’importe quel nombre fixé à l’avance : l’arc qui joint les deux fourmis est de longueur infinie. Aucune des deux ne rejoindra jamais l’autre en marchant sur la courbe. Et notez la force du résultat : il ne dit pas « il existe des paires de points pathologiques », il dit que c’est le cas de tout couple de points distincts de la courbe. Sur le bord du flocon, la notion de distance le long de la courbe s’est entièrement effondrée.

Q29 · Ce que von Koch cherchait

a) Soixante degrés au pic

Sur $F_1$, les deux segments qui se rejoignent au pic $S$ sont deux côtés du triangle équilatéral dressé sur le tiers central : l’angle qu’ils forment en $S$ est l’angle au sommet d’un triangle équilatéral, soit $60^\circ$. La ligne brisée arrive sur $S$ dans une direction et en repart dans une autre : elle y forme un coin. Gare au réflexe « $120^\circ$ » : $120^\circ$ est l’angle dont la direction de marche dévie, $60^\circ$ est l’angle géométrique entre les deux segments au point anguleux, et c’est lui que la question demande.

b) Des coins partout

Soient deux points distincts de la courbe, à distance $\delta > 0$ l’un de l’autre. Chaque sous-arc de niveau $n$ (la portion de courbe bâtie sur un côté de $F_n$) reste dans le chapeau de son côté, dont le diamètre est la longueur $\frac{a}{3^{n}}$ de sa base : deux points pris dans un même sous-arc, ou dans deux sous-arcs consécutifs, sont à distance au plus $\frac{2a}{3^{n}}$. Comme $\left|\frac13\right| < 1$, R3 donne $\lim\limits_{n \to +\infty} \frac{2a}{3^{n}} = 0$ : il existe un rang $n$ tel que $\frac{2a}{3^{n}} < \delta$. À ce niveau, nos deux points ne peuvent appartenir ni au même sous-arc ni à deux sous-arcs consécutifs : l’arc qui les joint contient donc un sous-arc entier de niveau $n$. Or un sous-arc entier est une copie réduite de la courbe complète : il contient en particulier le pic central que le générateur y crée à l’étape suivante. Tout arc, si court soit-il, contient un coin : les pics sont partout sur la courbe.

c) Le cône qui ne s’aplatit jamais

Soit $[UV]$ un côté de $F_n$. L’arc de la courbe joignant $U$ à $V$ est une copie réduite de la courbe entière, et Q25, transporté par la similitude qui envoie $[AB]$ sur $[UV]$, montre qu’il reste dans le chapeau de $[UV]$. Or ce chapeau est l’image du chapeau de $[AB]$ par cette même similitude, et une similitude conserve les angles : ses angles à la base valent $30^\circ$ quel que soit $n$. La courbe s’écarte donc de sa corde à l’intérieur d’un triangle isocèle de proportions fixes, qu’elle occupe réellement puisque son pic central atteint le sommet du chapeau. En zoomant sur un côté de plus en plus court, la silhouette ne s’aplatit jamais : l’écart angulaire entre la courbe et sa corde ne diminue pas d’un degré.

d) La corde qui n’en finit pas de tourner

La phrase demandée, la voici. Pour tout $n$, les extrémités des deux côtés de $F_n$ issus de $S$ sont des points de la courbe situés à la distance $\frac{a}{3^{n}}$ de $S$, dans deux directions qui font entre elles un angle de $60^\circ$ : quand $M$ se rapproche de $S$, la direction de la corde $[SM]$ continue donc d’osciller d’au moins $60^\circ$ à toutes les échelles, et ne peut converger vers aucune direction limite.

Le point de rigueur qui rend la phrase légitime : un sommet de $F_n$, une fois construit, n’est plus jamais déplacé par les étapes suivantes, c’est donc bien un point de la courbe, et il est licite d’y faire tendre $M$. Pour un point quelconque, qui n’est pas un pic, c’est le cône du c), identique à toutes les échelles, qui joue le même rôle. L’énoncé admet que ces oscillations suffisent à conclure :

$$\boxed{\text{la courbe de Koch n'admet de tangente en aucun de ses points}}$$

e) Le théorème de 1904

Von Koch a démontré un théorème d’existence : il existe une courbe continue qui n’admet de tangente en aucun point, et on peut l’obtenir par une construction géométrique élémentaire. L’existence seule était acquise depuis Weierstrass en 1872, mais par une somme infinie « qui cache la nature géométrique de la courbe », selon les mots de von Koch cités dans le prologue. Sa courbe à lui est dessinable, et l’absence de tangente s’y voit : les coins du b) sont partout, le cône du c) ne s’aplatit à aucune échelle. C’était un objectif pédagogique, revendiqué comme tel : que « tout le monde puisse pressentir, déjà par l’intuition naïve, l’impossibilité d’une tangente déterminée ». La partie IV que vous venez de gravir est ce programme exécuté, avec les seuls outils de terminale.

Q30 · Le sommet du sommet : le réel d existe

L’ensemble en jeu :

$$E = \left\{ \frac pq \ \middle|\ p \in \mathbb{N}^*,\ q \in \mathbb{N}^*,\ 3^{p} < 4^{q} \right\}.$$

Et le pont de Q19.a), qui servira partout : pour un rationnel $s = \frac pq > 0$, l’inégalité $3^{s} < 4$ équivaut, en élevant à la puissance $q$ (la fonction $x \mapsto x^{q}$ est strictement croissante sur $\left[0\,;+\infty\right[$), à $3^{p} < 4^{q}$. Autrement dit, $E$ est exactement l’ensemble des rationnels $s > 0$ tels que $3^{s} < 4$.

a) E n’est pas vide

$3^{1} = 3 < 4 = 4^{1}$, donc $1 = \frac11 \in E$.

b) 2 majore E

Soit $\frac pq \in E$. Supposons $\frac pq > 2$ : alors $p > 2q$, et comme $p$ et $2q$ sont des entiers, $p \geqslant 2q + 1$. D’où :

$$3^{p} \geqslant 3^{2q+1} = 3 \times 9^{q} > 9^{q} > 4^{q},$$

la dernière inégalité venant de $9 > 4 > 0$ élevé à la puissance $q \geqslant 1$ (stricte croissance de $x \mapsto x^{q}$ sur $\left[0\,;+\infty\right[$). C’est contradictoire avec $3^{p} < 4^{q}$. Donc :

$$\forall x \in E,\quad x \leqslant 2.$$

c) Tout rationnel sous un élément de E est dans E

Soient $\frac pq \in E$ et $\frac{p'}{q'}$, avec $p' \in \mathbb{N}^*$ et $q' \in \mathbb{N}^*$, tel que $\frac{p'}{q'} < \frac pq$. Les dénominateurs étant strictement positifs, le produit en croix donne $p'q < pq'$, donc, entre entiers, $p'q \leqslant pq' - 1 < pq'$. Alors :

$$\left(3^{p'}\right)^{q} = 3^{\,p'q} < 3^{\,pq'} = \left(3^{p}\right)^{q'} < \left(4^{q}\right)^{q'} = \left(4^{q'}\right)^{q},$$

la première inégalité stricte parce que $3 > 1$ et $p'q < pq'$, la seconde parce que $0 < 3^{p} < 4^{q}$ élevé à la puissance $q' \geqslant 1$ conserve l’inégalité stricte. Ainsi $\left(3^{p'}\right)^{q} < \left(4^{q'}\right)^{q}$, et la stricte croissance de $x \mapsto x^{q}$ sur $\left[0\,;+\infty\right[$ permet de simplifier par l’exposant $q$ : $3^{p'} < 4^{q'}$, c’est-à-dire $\frac{p'}{q'} \in E$.

d) E n’a pas de plus grand élément

Soit $\frac pq \in E$ : $3^{p} < 4^{q}$, donc $\rho = \frac{4^{q}}{3^{p}} > 1$. D’après R3, $\lim\limits_{k \to +\infty} \rho^{\,k} = +\infty$ : il existe donc $k \in \mathbb{N}^*$ tel que $\rho^{\,k} > 3$, c’est-à-dire $4^{\,kq} > 3 \times 3^{\,kp} = 3^{\,kp+1}$. La fraction $\frac{kp+1}{kq}$ appartient donc à $E$, et elle est strictement plus grande :

$$\frac{kp+1}{kq} = \frac pq + \frac{1}{kq} > \frac pq.$$

Au-dessus de tout élément de $E$, il y en a un autre : $E$ n’a pas de plus grand élément.

En chiffres, pour le plaisir : $\frac54 \in E$, c’est le $243 < 256$ de Q19. Le plus petit exposant qui convient est alors $k = 22$, et il fournit la fraction $\frac{111}{88} \approx 1{,}2614$, dont l’appartenance à $E$ se vérifie sur les entiers exacts : $3^{111} < 4^{88}$, deux entiers à cinquante-trois chiffres chacun. La machine à quatorze chiffres de Q33 n’était que le début.

e) La borne supérieure conclut

$E$ est une partie de $\mathbb{R}$ non vide (question a) et majorée (question b) : d’après la propriété admise, elle possède une borne supérieure. Posons $d = \sup E$, le plus petit des majorants de $E$. Vérifions que ce réel restitue l’équivalence admise en partie III :

$$\forall s \in \mathbb{Q},\ s > 0,\quad s < d \iff 3^{s} < 4.$$

Grâce au pont rappelé en tête de question, il suffit de démontrer l’équivalence $s < d \iff s \in E$.

• Si $s \in E$, alors $s \leqslant d$, car $d$ majore $E$. Et l’égalité est impossible : si l’on avait $s = d$, la question d) fournirait un élément de $E$ strictement supérieur à $d$, contredisant que $d$ majore $E$. Donc $s < d$. C’est très exactement ici que la question d) sert : sans elle, on n’obtiendrait que l’inégalité large, et la frontière aurait pu « se poser » sur une fraction.
• Si $s < d$, alors $s$ n’est pas un majorant de $E$, puisque le plus petit des majorants est $d$ : il existe donc $s' \in E$ tel que $s < s'$. La question c) s’applique alors au rationnel strictement positif $s$, situé sous l’élément $s'$ de $E$ : $s \in E$.

Enfin $1 \in E$ donne, par le premier point, $1 < d$ : le réel construit est bien strictement positif.

$$\boxed{d = \sup E \text{ existe, } d > 1, \text{ et } \forall s \in \mathbb{Q},\ s > 0 : \quad s < d \iff 3^{s} < 4}$$

La prudence tenue jusqu’au bout. Relisez la démonstration : le symbole $3^{d}$ n’y apparaît jamais, et pour cause. Le réel $d$ est irrationnel (Q21), et élever $3$ à une puissance irrationnelle ne sera défini qu’au chapitre F2. Le nombre $d$ n’est saisi que comme frontière entre deux familles de fractions : celles de $E$, toutes strictement au-dessous de lui, et les autres, toutes au-dessus. C’est la coupure de Dedekind de l’encadré « une invitation », la méthode même par laquelle les nombres réels se construisent à partir des rationnels. Vous avez défini un nombre sans jamais l’écrire : c’est peut-être la phrase la plus étrange et la plus exacte que l’on puisse prononcer sur ce sommet.

Sources

• DM1 A1, « Le monstre de 1904 » : énoncés de la partie IV (Q25 à Q30), résultats R1 à R5, coups de pouce de l’annexe A. Les citations de von Koch en Q29.e) sont celles du prologue du DM (préambule de son article de 1906, Acta Mathematica 30).
• Cours A1, « Suites : limites » : R2 (somme géométrique), R3 (comportement de $\rho^{\,n}$), R4 (théorème de la limite monotone), divergence par minoration.
• Toutes les valeurs numériques de cette page (coordonnées des chapeaux, aire de l’hexagone, formule de $B_n$, rapport $4$, appartenances à $E$, comparaisons d’entiers) ont été recalculées indépendamment, en coordonnées exactes ou en arithmétique entière exacte.