Bâle, 9 septembre 1713

La partie V du DM3 vous a fait calculer l’espérance d’un jeu qui n’en a pas. Voici maintenant le dossier complet de l’affaire, pièces en main : une lettre de Bâle, une réponse de Paris, un livre qui imprime les deux, et un quart de siècle de correspondance pour digérer trois lignes.

Les deux correspondants

À Paris, Pierre Rémond de Montmort a publié en 1708 un Essay d’analyse sur les jeux de hazard, le premier livre qui reprenne systématiquement le calcul des chances depuis Huygens. À Bâle, Nicolas Bernoulli, docteur en droit et neveu de Jacob Bernoulli, achève d’éditer le grand œuvre posthume de son oncle, l’Ars conjectandi. Les deux hommes s’écrivent depuis 1710, s’envoient des problèmes, se piquent d’émulation ; Montmort prépare une seconde édition de son Essay, augmentée de toute cette correspondance.

La lettre du 9 septembre 1713

Elle est imprimée aux pages 401 et 402 de cette seconde édition. Nicolas y annonce d’abord une nouvelle : « Le Livre de feu mon Oncle vient de sortir de la presse ». L’Ars conjectandi vient de paraître. Puis, faute de recherches nouvelles à communiquer, il rend la politesse des problèmes reçus : « je vous en propose quelques autres qui méritent votre application ». Ils sont cinq (orthographe modernisée).

Premier problème. $A$ et $B$ jouent alternativement avec un dé à quatre faces marquées de $0$, $1$, $2$, $3$. $A$ met une certaine somme d’écus au jeu et commence à jouer ; après avoir amené $0$, $1$, $2$ ou $3$ points, il reprend autant d’écus du jeu qu’il a amené de points, et cède le cornet à $B$, qui prend aussi du reste autant d’écus qu’il a amené de points ; mais s’il amène la face marquée de $0$, il paye un écu à $A$ ; et s’il amène un plus grand nombre de points qu’il ne reste d’écus au jeu, non seulement il ne prend rien, mais il met autant d’écus au jeu qu’il a amené de points de trop ; et ils continuent ainsi jusqu’à ce qu’il ne reste plus rien au jeu. Je demande quelle est la somme que $A$ doit mettre au jeu pour que leurs sorts soient égaux.

Second problème. Si $B$, au lieu de payer un écu à $A$ quand il n’amène rien, met un écu au jeu, trouver ce qu’alors $A$ doit mettre au jeu.

Troisième problème. Deux joueurs $A$ et $B$ jouent alternativement avec un dé ordinaire ; $A$ met un écu au jeu, $B$ commence à jouer : s’il amène un nombre pair, il prend cet écu ; s’il amène un nombre impair, il met un écu au jeu ; ensuite c’est $A$ qui joue, lequel en amenant un nombre pair prend un écu au jeu comme $B$, mais ne met rien au jeu quand il amène un nombre impair ; et ils continuent jusqu’à ce qu’il ne reste plus rien au jeu, toujours avec cette condition que l’un et l’autre prennent un écu du jeu quand ils amènent un nombre pair, mais que $B$ seul met un écu au jeu quand il amène un nombre impair. On demande leurs sorts.

Quatrième problème. $A$ promet de donner un écu à $B$ s’il amène avec un dé ordinaire six points au premier coup, deux écus s’il amène le six au second, trois écus s’il amène ce point au troisième coup, quatre écus s’il l’amène au quatrième, et ainsi de suite. On demande quelle est l’espérance de $B$.

Cinquième problème. On demande la même chose si $A$ promet à $B$ de lui donner des écus en cette progression $1$, $2$, $4$, $8$, $16$, etc., ou $1$, $3$, $9$, $27$, etc., ou $1$, $4$, $9$, $16$, $25$, etc., ou $1$, $8$, $27$, $64$, etc., au lieu de $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, etc. comme auparavant.

Et Nicolas conclut par la phrase qui restera : « Quoique ces problèmes pour la plupart ne soient pas difficiles, vous y trouverez pourtant quelque chose de fort curieux. » La lettre demande aussi à Montmort sa solution du jeu du Her, en échange de quoi Nicolas promet l’explication de son anagramme : à l’époque, on chiffrait ses découvertes en attendant de pouvoir les publier.

Vous reconnaissez le cinquième problème, première progression : c’est le jeu de la partie V, à deux détails près. L’original se joue avec un dé que l’on relance jusqu’au premier six, pas avec une pièce ; et le gain du DM vaut $2^{\,j}$ euros quand le premier succès arrive au lancer $j$, là où Nicolas paie $2^{\,j-1}$ écus. Le dé rend la chose encore plus explosive : pour tout $j \geqslant 1$, la probabilité que le premier six tombe au coup $j$ vaut $\left(\frac{5}{6}\right)^{j-1} \frac{1}{6}$, et le terme général de l’espérance, $\frac{1}{6}\left(\frac{5}{3}\right)^{j-1}$, ne tend même pas vers $0$.

La réponse qui passe à côté

Montmort répond de Paris le 15 novembre 1713. Sa lettre, la dernière du livre, occupe les pages 403 à 413 ; voici, page 407, tout ce qu’il accorde aux deux problèmes qui deviendront célèbres :

Les deux derniers de vos cinq problèmes n’ont aucune difficulté ; il ne s’agit que de trouver les sommes des suites dont les numérateurs, étant en progression des carrés, cubes, etc., les dénominateurs soient en progression géométrique : feu M. votre Oncle a donné la méthode de trouver la somme de ces suites.

Une phrase, et l’affaire est classée : de la sommation de séries, l’oncle Jacob a donné la méthode, suivant. Le savoureux est que Montmort enchaîne : « Pour ce qui est du troisième problème, il est beaucoup plus difficile », et s’y attarde longuement, réclamant même sa solution générale. Il n’a simplement pas fait le calcul des deux derniers ; il n’a donc pas vu que pour la progression $1, 2, 4, 8, \ldots$ la série ne se somme pas. La seconde édition de l’Essay paraît ainsi avec, à quelques pages d’écart, l’énoncé du futur paradoxe et la démonstration involontaire qu’on peut le lire sans le voir.

« Plus qu’infinie »

Nicolas revient à la charge le 20 février 1714, dans une lettre que l’Essay, déjà imprimé, ne pouvait plus accueillir. Pour le quatrième problème, il donne l’espérance : $6$ écus, le nombre moyen de lancers qu’il faut attendre pour voir un six. Mais pour le cinquième, son calcul aboutit à une équation dont la solution est négative, ce qu’il interprète ainsi : l’espérance de $B$ est « plus qu’infinie », et pourtant il est moralement certain que $B$, en payant une somme infinie, perdrait. Il en tire une conclusion qui annonce tout le débat : la valeur d’une espérance n’est pas toujours le juste prix d’un jeu, parce que « les cas qui ont une probabilité très petite doivent être négligés et comptés pour nuls, quoiqu’ils puissent donner une très grande espérance ». Montmort admire, promet seize pages de réflexions, avoue le 28 décembre 1716 : « je suis distrait et paresseux ». Il meurt en 1719 sans avoir rendu son verdict.

Genève, Saint-Pétersbourg

Le problème dort douze ans. Le 21 mai 1728, le Genevois Gabriel Cramer, de passage à Londres, écrit à Nicolas : il croit tenir « la solution du cas singulier que vous avez proposé à M. de Montmort ». C’est lui qui, « pour rendre le cas plus simple », remplace le dé par une pièce de monnaie que l’on jette jusqu’à ce qu’elle retombe du bon côté, le jeu que le DM vous a fait jouer. Le paradoxe, dit-il, vient de ce que les mathématiciens estiment l’argent à proportion de sa quantité, et les hommes de bon sens à proportion de l’usage qu’ils en peuvent tirer. Il propose deux issues : plafonner le gain, car aucune banque ne paie au-delà d’une certaine somme (avec un plafond de $2^{24}$ écus, il trouve une espérance de $13$ écus) ; ou décider que la satisfaction procurée par un gain croît comme sa racine carrée, ce qui ramène le juste prix à moins de $3$ écus. Vous avez refait ces deux calculs en Q24 et Q25, avec le gain $2^{\,j}$ du DM : c’est pourquoi vos valeurs, $E = M + 1$ et $3 + 2\sqrt{2} \approx 5{,}83$, diffèrent des siennes sans que le paradoxe change d’un pouce.

Nicolas n’est qu’à moitié convaincu, et transmet le problème à son jeune cousin Daniel, alors à l’académie de Saint-Pétersbourg. Daniel commence par répondre, comme tout le monde, que « les quatrième et cinquième problèmes sont faciles, quoique leurs solutions soient un léger paradoxe » ; puis il y réfléchit sérieusement, lit un mémoire à l’académie en 1731, et le publie en 1738 dans les Commentarii de Saint-Pétersbourg sous le titre Specimen theoriae novae de mensura sortis, essai d’une théorie nouvelle de la mesure du sort. C’est ce mémoire qui donnera son nom au paradoxe. Daniel y cite longuement la lettre de Cramer de 1728 et reconnaît son antériorité : son propre raisonnement, fondé sur l’idée que l’utilité d’un écu dépend de la fortune de celui qui le reçoit, rejoint celui du Genevois. Quant à Nicolas, il écrit à Daniel en 1732 que sa théorie est « très ingénieuse », mais qu’elle « ne résout pas le nœud du problème » : pour lui, la vraie question restait celle des probabilités si petites qu’un homme sensé les traite comme nulles, celle-là même que vous avez rencontrée en Q25.d).

Vingt-cinq ans entre la lettre de Bâle et le mémoire de Saint-Pétersbourg. La question tenait en cinq lignes ; personne n’a encore fini d’y répondre.

Sources

• Pierre Rémond de Montmort, Essay d’analyse sur les jeux de hazard, seconde édition, Paris, Quillau, 1713 : lettre de Nicolas Bernoulli du 9 septembre 1713, p. 401-402 ; réponse de Montmort du 15 novembre 1713, p. 403-413 (le passage cité est p. 407). Numérisation ETH-Bibliothek Zürich, e-rara (DOI 10.3931/e-rara-9173) ; les citations ci-dessus sont transcrites de cet exemplaire, orthographe modernisée.
• Die Werke von Jakob Bernoulli, Band 3 : la correspondance ultérieure (lettres des 20 février 1714, 24 mars 1714, 22 mars 1715, 28 décembre 1716, 21 mai 1728, 3 juillet 1728, 27 octobre 1728, 5 (15) novembre 1728, 5 avril 1732), traduite en anglais par Richard J. Pulskamp, « Correspondence of Nicolas Bernoulli concerning the St. Petersburg Game » ; les extraits en français ci-dessus sont retraduits de cette édition.
• Daniel Bernoulli, Specimen theoriae novae de mensura sortis, Commentarii Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae, tome V (pour 1730-1731), paru en 1738.
• Bernard Ycart, « Le paradoxe de Saint-Pétersbourg », hist-math.fr.
• DM3 du chapitre A1, partie V : le jeu tronqué, la banque finie et la racine de Cramer, questions Q23 à Q25.