A2 · Algebre

A2 · Combinatoire et dénombrement

Deux principes, quatre modèles, un triangle né six fois

« À partir d'ici, va et calcule ce que la bouche ne peut dire ni l'oreille entendre. »

— Sefer Yetsirah (Livre de la Création), IV, 16

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Phase 1 · ~5-10 min

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Trois idées clés

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•Tout dénombrement tient dans deux principes : on additionne des cas disjoints, on multiplie des choix successifs
•Deux questions, l'ordre et la répétition, rangent chaque comptage dans l'un des quatre modèles
•La relation de Pascal engendre un triangle de nombres, berceau de la récurrence, où toutes les combinaisons se lisent

ACT-A2 Les chemins qui comptent : un tableau de nombres bâti sans en connaître la règle, du coursier au triangle

COURS-A2 Sections 1 à 3 : compter sans énumérer, les k-uplets ($n^k$), puis toutes les parties ($2^n$)

Phase 2 · ~10-15 min

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Teste tes connaissances et pratique les methodes

✍️

L'essentiel en cinq questions

5 questions · ~4 min · ★★

Les deux principes, les quatre modèles, $2^n$ parties, relation de Pascal

✍️

Le tour complet du chapitre

14 questions · ~12 min · ★★★

QCM, V/F, chasse à l'erreur, associations

✍️

Quel modèle ?

10 verdicts · ~8 min · ★★★★

Trancher le bon modèle sans poser le calcul : uplet, permutation, combinaison

EXO-A2 L'Atelier : 30 exercices en cinq parties, des deux principes aux histoires et belles mathématiques

Phase 3 · ~5-10 min

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Consolide l'essentiel avec les formules et flashcards

Formules essentielles

Memento

Principe additif

$A \cap B = \varnothing \implies \mathrm{Card}(A \cup B) = \mathrm{Card}(A) + \mathrm{Card}(B)$

Crible

$\mathrm{Card}(A \cup B) = \mathrm{Card}(A) + \mathrm{Card}(B) - \mathrm{Card}(A \cap B)$

Principe multiplicatif

$\mathrm{Card}(E_1 \times \cdots \times E_k) = \mathrm{Card}(E_1) \times \cdots \times \mathrm{Card}(E_k)$

Les $k$-uplets

$\mathrm{Card}(E) = n \implies \forall k \in \mathbb{N},\ \mathrm{Card}\bigl(E^k\bigr) = n^k$

Factorielle et permutations

$\forall n \in \mathbb{N}^* : n! = 1 \times 2 \times \cdots \times n \quad \text{et} \quad 0! = 1$

Arrangements

$\forall\, 0 \leqslant k \leqslant n : \dfrac{n!}{(n-k)!} = n(n-1)\cdots(n-k+1)$

Combinaisons

$\forall\, 0 \leqslant k \leqslant n : \dbinom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}$

Nombre de parties

$\mathrm{Card}(E) = n \implies \mathrm{Card}\bigl(\mathcal{P}(E)\bigr) = 2^n$

Symétrie des combinaisons

$\forall\, 0 \leqslant k \leqslant n : \dbinom{n}{k} = \dbinom{n}{n-k}$

Relation de Pascal

$\forall n \geqslant 1,\ \forall k \in \{1,\dots,n-1\} : \dbinom{n}{k} = \dbinom{n-1}{k-1} + \dbinom{n-1}{k}$

Somme d'une ligne du triangle

$\forall n \in \mathbb{N} : \sum_{k=0}^{n} \dbinom{n}{k} = 2^n$

Ordonné ou non

Si l'ordre est indifférent, diviser par $k!$ : sinon on compte des arrangements.

Flashcards · 16 cartes · 6 catégories

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FICHE-A2 La carte mentale à quatre branches, le tableau des quatre modèles, et les pièges qui coûtent des points

COURS-A2 Les combinaisons et le pont (section 5), le triangle aux six noms et la somme d'une ligne (section 6)

Automatismes : le cahier de calcul

Projet Cahier de calcul (coord. Colas Bardavid), consultable sur le site des auteurs.

Phase 4

Aller plus loin

Ressources complementaires et approfondissement

Les dix pièces rouvrent les tiroirs du cours : la nuit sanskrite et la paternité disputée du triangle, le triangle sauvé par citation, la factorielle fausse du Sefer Yetsirah, la fractale cachée dans sa parité, la frontière où compter devient impossible, le binôme porte des complexes, le nombre deviné avant l'expérience, le ciel compté par Ibn Ezra, le rêve de Babel. Les trois tiroirs restés ouverts s'ouvrent ici.

Les Coulisses n°3

Le crible à trois ensembles

Quand trois familles se chevauchent, additionner et retrancher ne suffit plus : il faut remettre, retrancher, remettre. La formule d'inclusion-exclusion généralisée, démontrée et illustrée.

Les surjections passées au crible

Compter les partitions d'un ensemble, angle du DM : les nombres de Stirling de seconde espèce, les nombres de Bell, et l'étonnante série de Dobiński qui les donne explicitement.

Les planches du Genji-mon

Les cinquante-deux diagrammes des parfums du DM : leur histoire dans le Dit du Genji, et pourquoi ils dessinent exactement les partitions de cinq éléments.

Vrai ou légende : la réponse

Le verdict sur l'affirmation des Coulisses, « le triangle arithmétique a été inventé par Blaise Pascal », et ce que la question d'attribution enseigne vraiment.

Les six noms du triangle

La frise complète du voyage du triangle arithmétique : meru-prastāra, Jia Xian, Yang Hui, Khayyām, Tartaglia, Pascal, et la manière dont un disciple l'a sauvé deux fois.

La parité et Sierpiński