F1 · analyse

F1 · Limites de fonctions et continuité

Approcher sans jamais atteindre, ne jamais pouvoir sauter

« Ce serait une faute intolérable que de vouloir déduire les vérités des mathématiques pures de considérations qui appartiennent à la seule géométrie. »

— Bernard Bolzano, Rein analytischer Beweis, 1817

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Phase 1 · ~5-10 min

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Trois idées clés

Voir les cartes →

•Approcher n'est pas atteindre : une limite décrit ce vers quoi une fonction tend, sans qu'elle y arrive forcément
•Une fonction continue ne saute aucune valeur : elle rencontre donc toutes celles qu'elle encadre
•Quand aucune formule ne résout l'équation, un théorème prouve que la solution existe et un algorithme va la chercher

ACT-F1 La montagne, deux fois : une enquête en solitaire où le randonneur croise forcément son propre passage

COURS-F1 Sections 1 à 3 : approcher l'infini et les bords, l'algèbre des limites et ses quatre formes indéterminées, encadrer et longer

Phase 2 · ~10-15 min

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Teste tes connaissances et pratique les methodes

✍️

L'essentiel en cinq questions

5 questions · ~4 min · ★★

Limites de référence, formes indéterminées, continuité, TVI

✍️

Le tour complet du chapitre

15 questions · ~13 min · ★★★

QCM, V/F, chasse à l'erreur, associations, des asymptotes au point fixe

✍️

Indéterminée ou pas ?

10 verdicts · ~8 min · ★★★★

Trancher la forme avant de calculer, et choisir le bon levier

EXO-F1 L'Atelier : 30 exercices en huit parties, de la lecture de l'infini au laboratoire Python

EXO-F1-CORR Le corrigé complet de l'Atelier, défis étoilés compris

Phase 3 · ~5-10 min

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Consolide l'essentiel avec les formules et flashcards

Formules essentielles

Memento

Limite finie en $+\infty$

$\lim_{x \to +\infty} f(x) = \ell \iff \forall \varepsilon > 0,\ \exists A \in \mathbb{R},\ \forall x \geqslant A,\ |f(x) - \ell| < \varepsilon$

Limite finie en un point

$\lim_{x \to a} f(x) = \ell \iff \forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0,\ |x - a| \leqslant \delta \implies |f(x) - \ell| < \varepsilon$

Continuité en un point

$f \text{ continue en } a \iff \lim_{x \to a} f(x) = f(a)$

Les quatre formes indéterminées

$\infty - \infty \quad 0 \times \infty \quad \dfrac{\infty}{\infty} \quad \dfrac{0}{0}$

Croissances comparées en $+\infty$

$\forall n \in \mathbb{N}^* : \lim_{x \to +\infty} \dfrac{\mathrm{e}^x}{x^n} = +\infty \quad \lim_{x \to +\infty} \dfrac{x^n}{\mathrm{e}^x} = 0$

Croissance comparée en $-\infty$

$\forall n \in \mathbb{N}^* : \lim_{x \to -\infty} x^n\,\mathrm{e}^{x} = 0$

Asymptote horizontale

$\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \ell \implies y = \ell \text{ asymptote horizontale}$

Asymptote verticale

$\lim_{x \to a} f(x) = \pm\infty \implies x = a \text{ asymptote verticale}$

Asymptote oblique

$\lim_{x \to \pm\infty} \bigl(f(x) - (ax+b)\bigr) = 0 \implies y = ax + b \text{ asymptote}$

Valeurs intermédiaires

$f \text{ continue sur } [a\,;b] \implies \forall k \text{ entre } f(a) \text{ et } f(b),\ \exists c \in [a\,;b],\ f(c) = k$

Unicité de la solution

$f$ continue et strictement monotone sur $[a\,;b]$ : la solution $c$ est unique.

Dérivable et continue

Dérivable implique continue ; la réciproque est fausse ($|x|$ en $0$).

Flashcards · 24 cartes · 6 catégories

Reviser

FICHE-F1 La carte mentale à quatre branches, les tableaux d'indéterminations et d'asymptotes, et les pièges qui coûtent des points

COURS-F1 Les croissances comparées (section 4), la continuité et le TVI (sections 5 et 6), les suites récurrentes et le point fixe (section 7)

Automatismes : le cahier de calcul

Terminale Spécialité · fiche 1 (Limites de fonctions) ↗

Projet Cahier de calcul (coord. Colas Bardavid), consultable sur le site des auteurs.

Phase 4

Aller plus loin

Ressources complementaires et approfondissement

L'envers de la limite. Les dix pièces rouvrent les tiroirs du cours : l'équation sans formule et ce qu'elle a coûté à Abel, le crayon interdit de Bolzano, Rolle l'adversaire converti, la course entre deux façons d'attraper une racine, l'aimant et le ressort du point fixe, le zoo des monstres, l'asymptote grecque d'Apollonius, la chute parfaite, la course à l'infini, et trois brèves. Les trois tiroirs restés ouverts s'ouvrent ici.

Les Coulisses n°4

Vrai ou légende : Newton et les tangentes

Le verdict sur l'affirmation des Coulisses. Dans le texte de 1669, il n'y a ni tangente, ni dérivée, ni formule à itérer : trois hommes et soixante-dix ans ont été nécessaires pour écrire la méthode que vous connaissez.

Le zoom sans fond dans Weierstrass

Pourquoi le monstre de 1872 ne se lisse jamais sous la loupe : une équation fonctionnelle exacte, une majoration démontrée avec les seules sommes géométriques d'A1, et l'exposant 0,631 qui gouverne tout.

La course dichotomie contre Newton

Les deux méthodes lancées en direct sur l'équation du chapitre : 39 étapes contre 4 itérations, les trois pièges qui font perdre la course à la plus rapide, et la méthode hybride qui les réconcilie.

Les scripts du laboratoire

Tous les scripts Python du chapitre, exécutés et vérifiés : la dichotomie du cours, le compteur d'étapes, le microscope à monstres, et la valeur de Fibonacci expulsée de l'intervalle à l'étape 32.

Les six récits de la partie VII

Héron, Fibonacci, Brouwer, Borsuk, Cauchy, Baritompa : ce que les exercices d'histoire n'avaient pas la place de raconter, et où mènent les défis étoilés quand on les pousse plus loin.

Le verdict du randonneur