Le zoom sans fond dans la fonction de Weierstrass

Les Coulisses n°4 ont laissé ce tiroir ouvert, et l’exercice 30 de l’Atelier a posé la question sans y répondre complètement : on zoome sur la courbe de $W$, elle ne se lisse pas ; on zoome encore, elle ne se lisse toujours pas. Pourquoi ? La réponse n’est pas une impression de dessinateur, c’est une identité algébrique exacte, et elle se démontre entièrement avec le chapitre A1.

On travaille sur la fonction de Weierstrass dans les paramètres de l’Atelier et de la figure des Coulisses :

$\forall x \in \mathbb{R}, \qquad W(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^{n} \cos\left(3^{n} \pi x\right),$

et sur ses sommes partielles, les seules que l’on sache tracer :

$\forall N \in \mathbb{N},\ \forall x \in \mathbb{R}, \qquad W_N(x) = \sum_{n=0}^{N} \left(\frac{1}{2}\right)^{n} \cos\left(3^{n} \pi x\right).$

1. L’équation qui explique tout

Proposition (auto-similarité exacte). Pour tout $N \geqslant 1$ et tout $x \in \mathbb{R}$ :

$W_N(x) = \cos(\pi x) + \frac{1}{2}\, W_{N-1}(3x),$

et, à la limite, $W(x) = \cos(\pi x) + \frac{1}{2}\, W(3x)$.

Démonstration. On isole le terme de rang $0$ et l’on décale l’indice. Pour tout $N \geqslant 1$ et tout $x \in \mathbb{R}$ :

$$\begin{aligned} W_N(x) &= \cos(\pi x) + \sum_{n=1}^{N} \left(\frac{1}{2}\right)^{n} \cos\left(3^{n} \pi x\right)\\ &= \cos(\pi x) + \sum_{m=0}^{N-1} \left(\frac{1}{2}\right)^{m+1} \cos\left(3^{m+1} \pi x\right) \qquad (m = n-1)\\ &= \cos(\pi x) + \frac{1}{2} \sum_{m=0}^{N-1} \left(\frac{1}{2}\right)^{m} \cos\left(3^{m} \pi (3x)\right)\\ &= \cos(\pi x) + \frac{1}{2}\, W_{N-1}(3x). \end{aligned}$$

$\blacksquare$

Lisez cette égalité de droite à gauche, c’est là qu’est le zoom. Elle dit que la courbe de $W$, regardée sur une fenêtre trois fois plus petite, est la même courbe écrasée de moitié en hauteur, à laquelle on a ajouté un simple arc de cosinus. Autrement dit : le motif ne s’appauvrit pas quand on rétrécit la fenêtre. Il se reproduit.

C’est exactement le contraire de ce que fait une parabole. Zoomez sur la courbe de $x \mapsto x^2$ autour d’un point : elle se confond avec sa tangente, la courbure devient invisible, la fenêtre finit par ne montrer qu’une droite. La parabole s’appauvrit sous la loupe ; $W$ se recopie.

2. La loi du zoom : diviser la largeur par 3, diviser l’amplitude par 2

L’équation fonctionnelle a une conséquence chiffrée que l’on peut mesurer soi-même. Notons $A_k$ l’amplitude de $W$ (son maximum moins son minimum) sur la fenêtre $\left[0\,;\, 2 \times 3^{-k}\right]$. Voici les valeurs, calculées sur $W_{20}$ (indiscernable de $W$ à cette échelle) :

$k$	largeur de la fenêtre	amplitude	rapport à la ligne précédente
0	$2$	$4{,}000$
1	$0{,}667$	$2{,}500$	$1{,}600$
2	$0{,}222$	$1{,}376$	$1{,}816$
3	$0{,}0741$	$0{,}7069$	$1{,}947$
4	$0{,}0247$	$0{,}3555$	$1{,}988$
5	$0{,}00823$	$0{,}1780$	$1{,}997$
6	$0{,}00274$	$0{,}08903$	$1{,}999$

La dernière colonne converge vers $2$, et l’on voit pourquoi : le terme $\cos(\pi x)$ ajouté par l’équation fonctionnelle est presque constant sur une fenêtre minuscule, il ne contribue donc presque plus à l’amplitude, et il ne reste que le facteur $\frac{1}{2}$.

Une courbe de fonction dérivable ferait tout autre chose. Si $W$ était dérivable en un point, son amplitude sur une fenêtre de largeur $h$ autour de ce point serait de l’ordre de $h$ : diviser la largeur par $3$ diviserait l’amplitude par $3$, pas par $2$. Le rapport $2$ au lieu de $3$ est la signature numérique de la rugosité.

3. La régularité exacte : l’exposant 0,631

Le rapport « largeur divisée par $3$, hauteur divisée par $2$ » se traduit par un exposant. Posons

$\alpha = \frac{\ln 2}{\ln 3} = 0{,}63092975\ldots$

C’est l’unique réel tel que $\left(\frac{1}{3}\right)^{\alpha} = \frac{1}{2}$. Le théorème suivant est démontrable ici, avec les seuls outils du chapitre A1.

Théorème. Il existe un réel $C > 0$ tel que, pour tous $x \in \mathbb{R}$ et tout $h$ vérifiant $0 < h \leqslant 1$,

$\left| W(x+h) - W(x) \right| \leqslant C\, h^{\alpha}.$

Démonstration. Soit $N \in \mathbb{N}$, que l’on choisira ensuite en fonction de $h$. On coupe la somme en deux : les $N$ premiers termes, que l’on majore par la variation du cosinus, et la queue, que l’on majore brutalement.

Les premiers termes. L’inégalité $|\cos u - \cos v| \leqslant |u - v|$ (valable pour tous réels $u$ et $v$) donne, pour tout $n \in \mathbb{N}$ :

$\left|\cos\left(3^{n}\pi(x+h)\right) - \cos\left(3^{n}\pi x\right)\right| \leqslant 3^{n} \pi h.$

Donc, en sommant et en reconnaissant une somme géométrique de raison $\frac{3}{2}$ :

$\sum_{n=0}^{N-1} \left(\frac{1}{2}\right)^{n} 3^{n} \pi h = \pi h \sum_{n=0}^{N-1} \left(\frac{3}{2}\right)^{n} = \pi h \cdot \frac{\left(\frac{3}{2}\right)^{N} - 1}{\frac{3}{2} - 1} \leqslant 2\pi h \left(\frac{3}{2}\right)^{N}.$

La queue. Chaque cosinus est majoré par $1$ en valeur absolue, et l’on retrouve la somme géométrique de raison $\frac{1}{2}$ du chapitre A1 :

$\sum_{n=N}^{+\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^{n} \times 2 = 2 \times \frac{\left(\frac{1}{2}\right)^{N}}{1 - \frac{1}{2}} = 4 \left(\frac{1}{2}\right)^{N}.$

Le choix de $N$. En regroupant, pour tout $N \in \mathbb{N}$ :

$\left| W(x+h) - W(x) \right| \leqslant 2\pi h \left(\frac{3}{2}\right)^{N} + 4 \left(\frac{1}{2}\right)^{N}.$

Il reste à choisir $N$ au mieux, et c’est ici que $3$ et $\frac{1}{2}$ se rencontrent. Prenons pour $N$ le plus petit entier tel que $3^{N} \geqslant \frac{1}{h}$, de sorte que $3^{N-1} < \frac{1}{h} \leqslant 3^{N}$, c’est-à-dire

$\frac{1}{h} \leqslant 3^{N} < \frac{3}{h}.$

Alors, d’une part $h\left(\frac{3}{2}\right)^{N} = h \cdot 3^{N} \left(\frac{1}{2}\right)^{N} < 3 \left(\frac{1}{2}\right)^{N}$, d’autre part $\left(\frac{1}{2}\right)^{N} = \left(3^{N}\right)^{-\alpha} \leqslant h^{\alpha}$ puisque $\left(\frac{1}{2}\right) = 3^{-\alpha}$ et $3^{N} \geqslant \frac{1}{h}$. En reportant :

$\left| W(x+h) - W(x) \right| \leqslant 6\pi \left(\frac{1}{2}\right)^{N} + 4 \left(\frac{1}{2}\right)^{N} = (6\pi + 4) \left(\frac{1}{2}\right)^{N} \leqslant (6\pi + 4)\, h^{\alpha}.$

La constante $C = 6\pi + 4 \approx 22{,}8$ convient. $\blacksquare$

Deux lectures de ce résultat, et elles se complètent.

• En positif : $W$ est continue en tout réel. Faites $h \longrightarrow 0$ dans l’inégalité : $h^{\alpha} \longrightarrow 0$ puisque $\alpha > 0$, donc $W(x+h) \longrightarrow W(x)$ par le théorème des gendarmes. La continuité partout est démontrée, avec le chapitre A1 et rien d’autre.
• En négatif : l’exposant est $\alpha \approx 0{,}63$, et pas $1$. Si $W$ était dérivable en $x$, l’accroissement $|W(x+h) - W(x)|$ se comporterait comme $|W'(x)|\,h$, c’est-à-dire comme $h^{1}$. Or on va voir qu’il ne peut pas descendre en dessous de $h^{\alpha}$.

4. L’idée de la non-dérivabilité (ce n’est pas la démonstration)

Soyons précis sur le statut de ce qui suit : ceci est l’idée de la preuve, pas la preuve. La démonstration complète du théorème de 1872 dépasse largement le programme, et l’honnêteté commande de ne pas la déguiser.

L’idée tient en une phrase : la majoration du paragraphe 3 est optimale, elle ne peut pas être améliorée. On montre que, pour tout $x$, il existe des accroissements $h$ arbitrairement petits, de la forme $h \approx 3^{-n}$, pour lesquels la variation $|W(x+h) - W(x)|$ est au moins de l’ordre de $h^{\alpha}$, avec une constante strictement positive. Le mécanisme est visible dans l’équation fonctionnelle : à l’échelle $3^{-n}$, le terme de rang $n$ effectue une oscillation complète d’amplitude $2^{-n} = (3^{-n})^{\alpha}$, et les termes suivants, plus fins, ne parviennent pas à l’annuler.

Le taux d’accroissement vérifie alors

$\frac{\left| W(x+h) - W(x) \right|}{h} \geqslant \frac{c\, h^{\alpha}}{h} = c\, h^{\alpha - 1},$

et comme $\alpha - 1 < 0$, ce minorant tend vers $+\infty$ quand $h \longrightarrow 0$. Le taux d’accroissement ne peut converger vers aucun réel : $W$ n’est dérivable en aucun point.

C’est là qu’on mesure ce que le chapitre a gagné en abandonnant le crayon. « Continue » et « dérivable » se confondent sur un dessin, parce qu’un tracé à la main est toujours localement rectiligne. Elles se séparent dans le langage $\varepsilon$, et $W$ est exactement le témoin de cette séparation.

5. Ce que le zoom laisse voir de la dimension

Le chiffre $\alpha = \frac{\ln 2}{\ln 3}$ a un cousin géométrique. Si l’on recouvre le graphe de $W$ par de petits carrés de côté $h$, il en faut de l’ordre de $h^{-D}$ avec

$D = 2 - \alpha = 2 - \frac{\ln 2}{\ln 3} = 1{,}36907\ldots$

C’est la dimension de boîte du graphe. Une courbe ordinaire a la dimension $1$, une surface pleine la dimension $2$ ; le graphe de $W$ vit strictement entre les deux. Il est trop rugueux pour n’être qu’une ligne, trop maigre pour remplir le plan. La démonstration que la dimension de Hausdorff, plus fine, vaut la même valeur pour ces paramètres est un résultat très récent, des années 2010 : le monstre de 1872 a mis presque un siècle et demi à livrer sa mesure exacte.

Et l’exposant $\frac{\ln 2}{\ln 3}$ est un vieil ami : c’est aussi la dimension de l’ensemble triadique de Cantor, et un cousin du $\frac{\ln 3}{\ln 2}$ du triangle de Sierpiński rencontré au chapitre A2. Diviser par trois, garder deux : la même comptabilité, une fois dans les longueurs, une fois dans les hauteurs.

6. Le zoom, à faire tourner

Pour voir de vos yeux ce que dit l’équation fonctionnelle. Chaque cadre est trois fois plus étroit que le précédent, et l’axe vertical est resserré de moitié : les quatre images doivent se ressembler.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def W(x, N):
    return sum(0.5**n * np.cos(3**n * np.pi * x) for n in range(N + 1))

centre = 0.31
fig, axes = plt.subplots(1, 4, figsize=(16, 4))
demi, hauteur = 0.9, 2.2          # demi-largeur et demi-hauteur du 1er cadre

for k, ax in enumerate(axes):
    x = np.linspace(centre - demi, centre + demi, 40000)
    ax.plot(x, W(x, 25), linewidth=0.7)
    ax.set_xlim(centre - demi, centre + demi)
    ax.set_ylim(W(centre, 25) - hauteur, W(centre, 25) + hauteur)
    ax.set_title("zoom x %d" % 3**k)
    demi = demi / 3               # largeur divisee par 3
    hauteur = hauteur / 2         # hauteur divisee par 2

plt.tight_layout()
plt.show()

Le point de la démonstration se voit ici : si l’on divisait la hauteur par $3$ au lieu de $2$, la courbe s’aplatirait cadre après cadre, comme le ferait une parabole. Avec le facteur $2$, elle garde exactement la même rugosité. Essayez les deux, la différence est immédiate.

Et pour mesurer plutôt que regarder, la table du paragraphe 2 se reconstitue en cinq lignes :

import numpy as np

def W(x, N):
    return sum(0.5**n * np.cos(3**n * np.pi * x) for n in range(N + 1))

precedent = None
for k in range(7):
    x = np.linspace(0, 2 * 3.0**(-k), 3001)
    amplitude = W(x, 20).max() - W(x, 20).min()
    rapport = "" if precedent is None else "%.3f" % (precedent / amplitude)
    print("k = %d   largeur = %.3e   amplitude = %.6f   %s"
          % (k, 2 * 3.0**(-k), amplitude, rapport))
    precedent = amplitude

Sortie :

k = 0   largeur = 2.000e+00   amplitude = 3.999998
k = 1   largeur = 6.667e-01   amplitude = 2.499998   1.600
k = 2   largeur = 2.222e-01   amplitude = 1.376334   1.816
k = 3   largeur = 7.407e-02   amplitude = 0.706911   1.947
k = 4   largeur = 2.469e-02   amplitude = 0.355543   1.988
k = 5   largeur = 8.230e-03   amplitude = 0.178003   1.997
k = 6   largeur = 2.743e-03   amplitude = 0.089026   1.999

7. Le mot de la fin, celui de l’Atelier

L’exercice 30 posait la vraie question : pourquoi ce procédé de tracé ne montrera-t-il jamais la vraie $W$ ? Parce que l’écran n’affiche que $W_N$, une somme finie de fonctions dérivables, donc une fonction parfaitement lisse dont les rides s’arrêtent à l’échelle $3^{-N}$. Zoomez au-delà, et $W_N$ finit par se lisser comme une parabole : c’est le tracé qui capitule, pas le monstre. La rugosité à toutes les échelles n’existe qu’après le passage à la limite, celui-là même qu’aucun écran ne peut effectuer.

Le zoom est sans fond parce que la limite est déjà passée. C’est la définition du chapitre, pas le dessin, qui contient le monstre.

Sources

• Pièce 35 des Coulisses n°4, Le zoo des monstres, et exercice 30 de l’Atelier, Le microscope à monstres.
• Karl Weierstrass, communication à l’Académie des sciences de Berlin, 18 juillet 1872 ; première publication par Paul du Bois-Reymond en 1875.
• G. H. Hardy (1916) pour la condition $ab \geqslant 1$, qui couvre les paramètres $a = \frac12$, $b = 3$ utilisés ici (la condition originale de Weierstrass, $ab > 1 + \frac{3\pi}{2} \approx 5{,}71$, ne les couvrait pas).
• Toutes les valeurs numériques de cette page ont été recalculées ; les deux scripts sont exécutables tels quels.