Les six récits de la partie VII, en version longue

La partie VII de l’Atelier aligne six exercices, six dates et six vraies démonstrations. Le corrigé les traite question par question ; il n’avait pas la place de raconter d’où elles viennent ni où elles mènent. Voici les récits en entier, et pour les trois exercices étoilés, ce qui commence là où le corrigé s’arrête.

1. Héron, I^er siècle : une tablette plus précise que le maître

L’exercice 23 fait converger la suite $u_0 = 2$, $u_{n+1} = \frac{1}{2}\left(u_n + \frac{2}{u_n}\right)$ vers $\sqrt{2}$. Voici les termes en fractions, avec leur erreur exacte :

$n$	$u_n$	valeur décimale	erreur
0	$2$	$2$	$5{,}9 \times 10^{-1}$
1	$\frac{3}{2}$	$1{,}5$	$8{,}6 \times 10^{-2}$
2	$\frac{17}{12}$	$1{,}416666666667$	$2{,}5 \times 10^{-3}$
3	$\frac{577}{408}$	$1{,}414215686275$	$2{,}1 \times 10^{-6}$
4	$\frac{665857}{470832}$	$1{,}414213562375$	$1{,}6 \times 10^{-12}$

Les exposants de l’erreur, $-1$, $-2$, $-3$, $-6$, $-12$, doublent à partir du rang $2$ : c’est la convergence quadratique, et les Coulisses en ont donné la raison exacte, la pente nulle au point fixe. Quatre tours pour douze décimales, là où la dichotomie en demanderait quarante.

La comparaison avec la tablette babylonienne YBC 7289 réserve une surprise que l’énoncé laissait deviner. La tablette, gravée entre 1800 et 1600 avant notre ère, porte $1;24,51,10$ en base soixante, soit

$1 + \frac{24}{60} + \frac{51}{60^2} + \frac{10}{60^3} = 1{,}414212962963\ldots$

L’erreur est de $6{,}0 \times 10^{-7}$. Comparez avec le tableau : c’est meilleur que $u_3$ (erreur $2{,}1 \times 10^{-6}$) et moins bon que $u_4$. Le scribe anonyme était donc, en précision, entre le troisième et le quatrième tour de la machine de Héron, dix-huit siècles avant lui. Et il avait sans doute utilisé la même : l’algorithme est si naturel que plusieurs civilisations l’ont trouvé indépendamment, ce qui vaut à la méthode son autre nom, « méthode babylonienne ».

Un mot sur Héron lui-même. Il n’était pas un théoricien mais un ingénieur d’Alexandrie, auteur d’une Pneumatique décrivant une turbine à vapeur, d’automates de théâtre et de machines de levage. Le calcul de $\sqrt{2}$ apparaît dans la Metrica, un traité de mesure d’aires et de volumes : il lui fallait des racines carrées parce qu’il calculait des diagonales et des surfaces de triangles, pas parce qu’il s’intéressait à l’irrationalité. La convergence quadratique est un sous-produit du besoin d’arpenter.

2. Fibonacci, 1225 : le défi de la cour de Palerme

L’exercice 24 fait résoudre $x^3 + 2x^2 + 10x = 20$. L’histoire mérite d’être complète. L’empereur Frédéric II, qui tenait à Palerme une cour où se croisaient savants latins, grecs et arabes, avait entendu parler de Leonardo Fibonacci. Son philosophe de cour, Jean de Palerme, lui soumit trois problèmes. Celui-ci était le troisième.

Fibonacci répond dans le Flos (1225) par deux résultats, et le second est plus remarquable que le premier.

• D’abord, il démontre que la solution est inconstructible. En passant en revue les formes de nombres que la théorie d’Euclide autorise (rationnels, racines carrées, racines de racines), il établit qu’aucune ne convient. C’est, six siècles avant Abel, exactement le geste de l’ouverture du cours : prouver qu’aucune formule d’un certain type ne peut livrer la réponse.
• Ensuite, il donne la valeur. En base soixante : $1;22,7,42,33,4,40$, soit

$1 + \frac{22}{60} + \frac{7}{60^2} + \frac{42}{60^3} + \frac{33}{60^4} + \frac{4}{60^5} + \frac{40}{60^6} = 1{,}368808107853\ldots$

Or la racine exacte vaut $\alpha = 1{,}368808107821\ldots$ : l’écart est de $3{,}2 \times 10^{-11}$. Dix décimales exactes, sans algèbre, en 1225. Personne ne sait comment il a fait : le Flos donne le résultat, pas la méthode.

Une précision sur les chiffres. L’Atelier travaille avec la valeur décimale $1{,}3688081075$, celle que reprennent la plupart des ouvrages, et qui est exacte à $3{,}2 \times 10^{-10}$ près, soit neuf décimales. La conversion directe des chiffres sexagésimaux du Flos donne une valeur légèrement meilleure. Les deux s’accordent sur les neuf décimales que l’histoire retient, et l’exercice 29 du laboratoire, qui fait expulser $1{,}3688081075$ de l’intervalle à l’étape $32$, garde toute sa force : il mesure l’épaisseur du trait de plume, quel que soit celui des deux qu’on choisit.

Combien d’étapes à la dichotomie pour garantir ces neuf décimales ? Trente. Fibonacci n’avait ni Python ni la notion de continuité ; il avait une intuition d’un calculateur de génie et probablement une variante de la méthode d’approximation successive que le chapitre appelle aujourd’hui point fixe. Le DM de Samarcande, deux siècles plus tard, montre à quoi ressemblait la version explicite de ce savoir-faire.

3. Brouwer, 1911 : l’homme qui a renié sa propre démonstration

L’exercice 25 démontre le cas de la dimension $1$ : toute fonction continue de $[0\,;1]$ dans $[0\,;1]$ a un point fixe. La preuve tient en trois lignes de TVI appliqué à $g(x) = f(x) - x$, et c’est exactement ce que fait le corrigé.

Ce que l’exercice ne dit pas, c’est que ce petit théorème est la porte d’entrée d’un des résultats les plus utilisés du XX^e siècle. En dimension $n$, le théorème de Brouwer affirme que toute fonction continue d’une boule fermée dans elle-même admet un point fixe. La démonstration ne se fait plus par le TVI : elle demande de la topologie algébrique, et elle est bien au-delà du programme. Les conséquences, elles, se racontent.

• En économie. John Nash démontre en 1950 l’existence d’un équilibre dans tout jeu fini, en appliquant un théorème de point fixe (Kakutani, une généralisation de Brouwer). Arrow et Debreu font de même en 1954 pour l’équilibre général des marchés. Ces travaux ont valu trois prix Nobel d’économie ; leur cœur mathématique est le théorème de la boule qui se replie sur elle-même.
• En image mentale. Posez une carte de France sur le sol, en France : il existe un point de la carte exactement au-dessus du point du territoire qu’il représente. Froissez la carte, roulez-la en boule : c’est encore vrai, du moment qu’elle ne dépasse pas du pays. Mélangez votre café : à l’instant où vous vous arrêtez, une particule au moins est revenue exactement à sa position de départ.
• Et l’ironie. Luitzen Egbertus Jan Brouwer est devenu, quelques années après 1911, le fondateur de l’intuitionnisme : une école qui refuse le principe du tiers exclu et n’accepte pour existante qu’une chose que l’on sait construire. Or sa propre démonstration est purement non constructive : elle prouve qu’un point fixe existe sans donner aucun moyen de le trouver. Brouwer a passé la fin de sa vie à désavouer le raisonnement qui l’a rendu célèbre.

Au-delà du corrigé. La question 4 demandait deux contre-exemples ; en voici la lecture de fond. Sur l’intervalle ouvert $]0\,;1[$, la fonction $x \mapsto \frac{1+x}{2}$ est continue et à valeurs dans $]0\,;1[$, mais son unique point fixe est $1$, qui n’est pas dans l’intervalle : c’est la fermeture qui manque, exactement ce que le TVI exige avec ses bornes $f(a)$ et $f(b)$. Sur l’intervalle fermé, la fonction qui vaut $1$ pour $x \leqslant \frac12$ et $0$ pour $x > \frac12$ n’a aucun point fixe : c’est la continuité qui manque. Les deux hypothèses ne sont pas décoratives, chacune est indispensable, et chacune tombe d’une manière différente.

4. Borsuk, 1933 : le théorème que son auteur n’a pas conjecturé

L’exercice 26 démontre qu’il existe sur l’équateur deux points diamétralement opposés de même température. Le calcul est d’une élégance rare et tient tout entier dans une somme : avec $d(\theta) = T(\theta + \pi) - T(\theta)$,

$d(0) + d(\pi) = \bigl(T(\pi) - T(0)\bigr) + \bigl(T(2\pi) - T(\pi)\bigr) = T(2\pi) - T(0) = 0,$

puisque $2\pi$ et $0$ repèrent le même point. Deux nombres de somme nulle sont nuls tous les deux ou de signes contraires : le TVI conclut.

Le nom complet du résultat est théorème de Borsuk–Ulam, et il illustre bien la manière dont les mathématiques circulent. Stanislaw Ulam, l’un des animateurs du légendaire café écossais de Lwów où les problèmes s’écrivaient dans un cahier posé sur le comptoir, a conjecturé l’énoncé ; Karol Borsuk l’a démontré en 1933. Le théorème porte donc les deux noms, dans l’ordre de la preuve d’abord.

En dimension $2$, l’énoncé devient : sur la sphère terrestre, il existe toujours deux points antipodaux où la température et la pression sont simultanément égales. Deux grandeurs, pas une, et c’est le maximum : la dimension de la sphère fixe le nombre de coïncidences que l’on peut exiger. On en déduit le théorème du sandwich au jambon : trois solides quelconques dans l’espace peuvent toujours être coupés en deux parts de volumes égaux par un seul plan, le pain, le jambon et le fromage d’un coup de couteau.

Au-delà du corrigé. La question 3 demandait où la continuité de la température est physiquement discutable. La réponse honnête : à l’échelle moléculaire, la température n’est pas une fonction continue de la position, ce n’est même pas une fonction de la position, c’est une moyenne statistique sur un volume. Le théorème s’applique donc au modèle, pas au monde. Ce qui le sauve, c’est qu’il est robuste : toute grandeur continue le long de l’équateur convient, l’altitude, l’humidité, la teneur en ozone, et le résultat ne dépend d’aucune propriété physique particulière. C’est un théorème sur la forme du cercle, pas sur la météorologie.

5. Cauchy, 1821 : où se cache la propriété fondamentale de R

L’exercice 27, étoilé, est le plus profond de la feuille : il fait démontrer le théorème du chapitre, celui que le cours avait admis. La construction par dichotomie fabrique deux suites adjacentes qui se referment sur la racine.

Le contexte historique double la portée de l’exercice. Le Cours d’analyse de Cauchy (1821) est un livre de rupture : professeur à l’École polytechnique, Cauchy décide de refonder l’analyse sur des définitions, et non sur des évidences géométriques. Sa preuve du TVI par dichotomie figure en note de cet ouvrage. Bolzano l’avait précédé de quatre ans, en 1817, avec une preuve différente reposant sur la borne supérieure ; mais Bolzano publiait à Prague, dans une brochure que presque personne n’a lue, et il sera bientôt destitué de sa chaire et interdit de publication. Cauchy publiait à Paris, dans le manuel de la plus prestigieuse école d’ingénieurs d’Europe. Le même théorème, quatre ans d’écart, deux destins.

Au-delà du corrigé. La question 5 demandait où, exactement, se cache la propriété fondamentale de $\mathbb{R}$. La réponse mérite d’être appuyée, car c’est le point le plus subtil du chapitre.

Elle se cache dans le théorème de la limite monotone invoqué à la question 3. Ce théorème, admis au chapitre A1, dit qu’une suite croissante et majorée converge. Il est faux dans $\mathbb{Q}$ : la suite des troncatures décimales de $\sqrt{2}$, soit $1$, $1{,}4$, $1{,}41$, $1{,}414$, est croissante, majorée par $2$, entièrement composée de rationnels, et ne converge vers aucun rationnel. Voilà pourquoi la démonstration de l’exercice ne peut pas se transporter dans $\mathbb{Q}$, et voilà pourquoi le TVI y est faux : les Coulisses l’ont montré avec $x \mapsto x^2 - 2$, continue sur $\mathbb{Q}$, qui passe de $-2$ à $2$ sans jamais s’annuler.

Quant à la continuité, elle sert exactement une fois, à la question 4, via le théorème « image d’une suite convergente » : c’est elle qui autorise le passage à la limite dans les inégalités $f(a_n) \leqslant 0 < f(b_n)$. Sans elle, les deux suites convergeraient toujours vers le même $c$, mais rien ne dirait ce que vaut $f(c)$. Un théorème d’existence, deux ingrédients : la complétude de $\mathbb{R}$ pour fabriquer le point, la continuité pour lui faire dire quelque chose.

6. Baritompa, 2005 : la table bancale a mis quarante ans à devenir un théorème

L’exercice 28, étoilé lui aussi, démontre qu’une table carrée qui boite se stabilise en la faisant pivoter. Le mécanisme est le même que celui de Borsuk : la fonction $g$ mesurant la hauteur du pied qui flotte change de signe quand on tourne d’un quart de tour, parce que le quart de tour échange les deux diagonales du carré, donc échange le rôle du trépied porteur et du pied flottant.

Le problème circule depuis les années 1960 dans les recueils de casse-tête, notamment chez Martin Gardner. Ce qui a mis quarante ans à venir, ce n’est pas l’idée, c’est la rigueur : il fallait dire précisément ce qu’est un sol admissible, prouver que la hauteur du quatrième pied est bien une fonction continue de l’angle, et vérifier que la table reste physiquement posée pendant toute la rotation. L’article de Baritompa, Löwen, Polster et Ross (2005) fait ce travail et obtient un résultat quantitatif : le théorème vaut pour des sols dont la pente ne dépasse pas $35$ degrés.

Au-delà du corrigé. Trois remarques que la question 4 appelait.

• Le carré n’est pas un détail. Toute la preuve repose sur le fait qu’une rotation d’un quart de tour applique la diagonale $AC$ sur l’ancienne position de $BD$. C’est vrai pour un carré. Pour une table rectangulaire non carrée, le quart de tour ne renvoie plus les pieds là où d’autres pieds se trouvaient, et l’argument de symétrie s’effondre : il faut alors un énoncé différent, et bien plus délicat.
• Le sol continu n’est pas un détail non plus. Le contre-exemple est dans votre cuisine : une marche d’escalier. Le sol y présente une discontinuité, $g$ cesse d’être continue, et aucune rotation ne stabilise la table. C’est le même mécanisme que la fonction $v$ en escalier de l’activité, celle qui traversait de $-1$ à $1$ sans passer par $0$.
• Ce qu’on démontre n’est pas ce qu’on fait. Le théorème garantit qu’un angle stabilisateur existe ; il ne dit pas lequel, et il ne dit pas comment le trouver. C’est exactement la situation de l’ouverture du cours avec $x^5 - x - 1 = 0$. Pour le trouver, il faut redescendre à l’algorithme : tourner la table par petits paliers en surveillant le pied qui flotte, ce qui est, chez vous, une dichotomie à la main.

Le fil des six

Six exercices, une seule idée, retournée six fois. Héron et Fibonacci construisent un nombre que la théorie déclare inatteignable par formule. Brouwer et Borsuk prouvent qu’un objet existe sans jamais le montrer. Cauchy démontre l’outil qui autorise les deux précédents. Baritompa applique ce même outil à une table de cuisine.

C’est le programme entier du chapitre : le théorème des valeurs intermédiaires dit qu’une chose est là, l’algorithme va la chercher, et les deux ensemble remplacent la formule qui n’existe pas.

Sources

• Atelier F1, partie VII, exercices 23 à 28, et leur corrigé.
• Héron d’Alexandrie, Metrica, vers 60 ; tablette YBC 7289, collection babylonienne de l’université Yale.
• Leonardo Fibonacci, Flos, 1225, problème de Jean de Palerme.
• L. E. J. Brouwer (1911) ; John Nash (1950) et Arrow–Debreu (1954) pour les applications économiques.
• Karol Borsuk (1933), sur une conjecture de Stanislaw Ulam.
• Augustin-Louis Cauchy, Cours d’analyse de l’École royale polytechnique, 1821 ; Bernard Bolzano, Rein analytischer Beweis, 1817.
• B. Baritompa, R. Löwen, B. Polster et M. Ross (2005) pour le théorème de la table bancale.
• Toutes les valeurs numériques de cette page ont été recalculées en précision arbitraire.