La planche des cinquante-deux genji-mon

Le DM « Les cinquante-deux parfums » vous a fait démontrer que le jeu des cinq encens admet exactement $B_5 = 52$ réponses possibles, et sa sortie promettait la planche complète des diagrammes avec leurs chapitres du Dit du Genji. La voici.

Le jeu, en deux mots

Dans le Japon de l’époque d’Edo, le genji-kō se joue ainsi : le maître d’encens fait brûler cinq encens l’un après l’autre, certains identiques, d’autres non, et chaque invité répond à une seule question : lesquels sentaient pareil ? La réponse s’écrit sans un mot, par un petit diagramme de cinq bâtonnets, le genji-mon. Le prologue du DM raconte la scène en détail ; mathématiquement, une réponse est exactement une partition de l’ensemble $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ des cinq encens : ses blocs sont les groupes de même parfum.

La convention de lecture

Chaque diagramme se lit ainsi :

• cinq bâtonnets verticaux, un par encens ; nous les numérotons ici de $1$ (à gauche) à $5$ (à droite), comme dans le DM (les recueils japonais, eux, ordonnent traditionnellement les encens de droite à gauche) ;
• un trait horizontal coiffe les bâtonnets d’un même groupe : il relie le premier et le dernier, et un bâtonnet appartient au groupe dont la barre termine son sommet ;
• quand une barre enjambe un bâtonnet étranger, celui-ci est dessiné plus bas et passe sous la barre ; deux groupes entrelacés se croisent ainsi à des hauteurs différentes, sans ambiguïté.

Sous chaque diagramme, la partition correspondante est notée comme dans le DM : les chiffres d’un même groupe sont collés, les groupes séparés par une barre. Ainsi $1|23|45$ signifie : l’encens $1$ était seul de son parfum, les encens $2$ et $3$ sentaient pareil, les encens $4$ et $5$ aussi.

La planche

Les cinquante-deux diagrammes, rangés du plus grand nombre de groupes au plus petit : la planche s’ouvre sur $1|2|3|4|5$ (cinq parfums tous différents) et se ferme sur $12345$ (cinq fois le même encens).

Chaque dessin de cette planche a été relu par programme selon la convention ci-dessus : les cinquante-deux décodages redonnent bien les cinquante-deux partitions, toutes distinctes. C’est la vérification graphique de ce que le DM démontre par le calcul : aucun diagramme ne manque, aucun n’est en double.

Des noms venus d’un roman

Le Dit du Genji de Murasaki Shikibu, écrit au début du XI^e siècle, compte cinquante-quatre chapitres. La tradition du genji-kō associe à chaque diagramme le nom d’un chapitre du roman, mais les comptes ne tombent pas juste : cinquante-quatre chapitres pour cinquante-deux diagrammes. L’usage résout l’écart en laissant hors jeu le premier chapitre, Kiritsubo (le clos du paulownia), et le dernier, Yume no Ukihashi (le pont flottant des songes) : les diagrammes portent les noms des chapitres $2$ à $53$.

Nous ne reproduisons pas ici la table nominative complète, signe par signe : nous ne pouvons pas la garantir avec certitude, et les recueils méritent d’être consultés directement. Retenez le principe, qui suffit à faire rêver : chacune des cinquante-deux façons de grouper cinq encens porte, depuis des siècles, le titre d’un chapitre d’un roman.

Le compte est bon

Pour tout entier $n \geqslant 1$, notons $B_n$ le nombre de partitions de l’ensemble $\{1, \ldots, n\}$. Le DM construit le triangle des nombres $S(n, k)$, en tire

puis révèle ce que le jeu compte vraiment : les relations d’équivalence sur un ensemble à cinq éléments. Cinquante-deux diagrammes, parce qu’il n’existe que cinquante-deux façons de répondre à la question « lesquels sentaient pareil ? ». Pour la démonstration complète, le triangle, la formule d’Arima et le dictionnaire des surjections : DM1 du chapitre A2, « Les cinquante-deux parfums ».

Sources

• DM1 du chapitre A2, « Les cinquante-deux parfums » : prologue (le jeu du genji-kō), partie II (le triangle et $B_5 = 52$), partie V (relations d’équivalence).
• Smithsonian Institution, « Genji-ko motif » (Cooper Hewitt) : les cinquante-deux motifs et leur association aux chapitres du roman, premier et dernier chapitres exclus.
• Oran Looney, « The Art and Mathematics of Genji-Kō » : la correspondance entre genji-mon et partitions, et la lecture traditionnelle de droite à gauche.
• La planche ci-dessus est engendrée par le script hub_genji_svg.py (même algorithme que les figures du DM), qui vérifie le décodage de chacun des cinquante-deux dessins.