Vrai ou légende : Pascal a-t-il inventé le triangle ?

Le troisième numéro des Coulisses, L’envers du triangle, s’est refermé sur une affirmation à trancher :

Le triangle arithmétique a été inventé par Blaise Pascal.

Voici le verdict, promis sur le compagnon numérique. Il tient en un mot, puis en une nuance.

Le verdict : légende

C’est une légende, et les Coulisses l’ont déjà largement démontré : le triangle précède Pascal de plusieurs siècles, sur trois continents. Rappelons la chaîne, telle que les pièces 21 et 22 l’ont établie.

• Inde, avant notre ère. La prosodie sanskrite de Pingala compte les mètres poétiques, suites de syllabes brèves et longues, exactement nos mots binaires ; elle manipule déjà les nombres $\binom{n}{k}$ et la somme $\sum_k \binom{n}{k} = 2^n$. La disposition triangulaire elle-même, le meru-prastāra ou « escalier du mont Meru », est attestée chez Virahāṅka vers le VIIᵉ siècle, puis élaborée par le commentateur Halāyudha au Xᵉ.
• Terre d’Islam, vers l’an mille. Al-Karajī construit le triangle et la règle du binôme ; son œuvre est perdue et ne nous parvient que recopiée, au XIIᵉ siècle, par al-Samaw’al, qui le cite nommément. En Perse, Omar Khayyām (1048–1131) s’en sert pour extraire les racines : d’où le nom persan de « triangle de Khayyām ».
• Chine, vers 1050. Jia Xian dresse le même tableau ; ses livres sont perdus, mais Yang Hui les recopie et les crédite en 1261, d’où le « triangle de Yang Hui ». En 1303, Zhu Shijie le grave dans son Précieux miroir en l’appelant déjà « la méthode ancienne ».
• Europe, à la Renaissance. Le triangle s’imprime pour la première fois en 1527, en frontispice d’une arithmétique commerciale, avant de passer chez Stifel (1544) et Tartaglia en Italie (d’où le « triangolo di Tartaglia »).

Quand Blaise Pascal rédige son Traité du triangle arithmétique en 1654 (publié en 1665, après sa mort), l’objet a donc déjà, selon la tradition, au moins huit siècles et une demi-douzaine de noms. Le nom même de « triangle de Pascal » est tardif et occidental : ce sont Montmort en 1708, puis de Moivre vers 1730, qui le fixent. Pascal, lui, n’a jamais revendiqué de priorité.

La nuance : ce que Pascal a vraiment apporté

Si le triangle n’est pas de lui, pourquoi son nom a-t-il gagné ? Parce que Pascal ne l’a pas seulement dessiné : il l’a traité. Là où ses prédécesseurs exhibaient une figure et une règle de construction, le Traité de 1654 organise en un seul système une vingtaine de propriétés (les « conséquences »), les relie, et surtout les démontre.

Le point d’orgue est la douzième conséquence. Pour prouver une propriété valable « à une infinité de cas », Pascal annonce une démonstration « bien courte » reposant sur « deux lemmes » : la propriété est vraie au départ, et si elle est vraie à une ligne, elle l’est à la suivante ; donc elle est vraie partout, « et ainsi à l’infini ». Il ne prononce jamais le mot, mais il vient d’écrire l’une des premières démonstrations par récurrence de l’histoire. Le raisonnement rencontré au chapitre A0 est né, pour une part, dans ce triangle. Le mot « récurrence », lui, attendra Poincaré.

Voilà le partage juste : le triangle appartient à l’humanité entière, de Pingala à Zhu Shijie ; la méthode, le traitement unifié et la récurrence érigée en outil de preuve, voilà ce que Pascal a réellement ajouté. Ce n’est pas une invention d’objet, c’est une invention de regard.

Une prudence d’historien

Deux réserves, pour ne rien affirmer de trop. L’attribution du triangle à Pingala lui-même est contestée par les spécialistes : elle repose sur la lecture d’un unique aphorisme obscur par son commentateur Halāyudha, mille ans plus tard ; le sanskritiste Albrecht Weber la rejetait déjà en 1863. Ce qui est solide chez Pingala, c’est le calcul des $\binom{n}{k}$ ; la figure, elle, revient à ses héritiers. De même, la date de publication de Pascal est posthume : le Traité est composé en 1654 mais imprimé en 1665. La formule prudente s’impose donc partout : « vers », « selon la tradition ».

Sources

• Pièces 21 et 22 des Coulisses A2, L’envers du triangle (« La nuit sanskrite », « Sauvé par citation »), et le paragraphe 6 du cours, « Le triangle qui a six noms ».
• Blaise Pascal, Traité du triangle arithmétique, composé en 1654, publié en 1665 (Gallica, ark:/12148/btv1b86262012).
• Sur la controverse d’attribution à Pingala : Albrecht Weber (1863) ; discussions rassemblées dans le fond documentaire du chapitre.
• Sur le nom « triangle de Pascal » fixé par Montmort (1708) et de Moivre (vers 1730) : tradition historiographique occidentale.