Le récit des huit histoires

La partie V de l’Atelier vous a fait travailler huit exercices signés de grands noms : le nombre $\mathrm{e}$, Nicomaque, Cassini, Viète, Sylvester, Montmort, Fourier, Ramanujan. Les énoncés donnaient une date et une phrase ; les mathématiques, elles, vivent dans le corrigé. Ici, on raconte le reste : qui étaient ces gens, ce qu’ils cherchaient, et ce que leurs suites sont devenues.

Exercice 21 · Le nombre e, et la lettre qui ne veut rien dire

Le nombre $\mathrm{e}$ n’est pas né chez un géomètre mais chez un banquier imaginaire. En 1683, Jacob Bernoulli étudie les intérêts composés : que devient un capital si on lui verse ses intérêts tous les mois, tous les jours, à chaque instant ? Il montre que la quantité $\left(1+\frac1n\right)^n$ ne s’emballe pas : elle reste comprise entre $2$ et $3$, et sa limite existe. Bernoulli tient le nombre, mais il ne lui donne ni valeur précise, ni nom.

Le nom vient d’Euler, et son histoire est plus modeste qu’on ne croit. La lettre $\mathrm{e}$ apparaît d’abord vers 1727 dans un manuscrit non publié consacré… à la force explosive des canons, puis pour la première fois en librairie dans sa Mechanica de 1736. Contrairement à la légende, ce $\mathrm{e}$ n’est probablement pas l’initiale d’Euler, que sa modestie n’aurait jamais autorisée : c’est vraisemblablement la première lettre disponible, $a$, $b$, $c$ et $d$ étant déjà réquisitionnées comme variables. C’est Euler encore qui démontre l’égalité des deux visages du nombre, la limite de Bernoulli et la somme des inverses de factorielles que votre exercice a explorée, et cette seconde écriture est de très loin la plus efficace : vous avez constaté vous-mêmes que huit termes donnent déjà quatre décimales.

La suite de l’histoire passe par l’exercice 27 : la vitesse foudroyante de cette convergence est exactement l’arme du raisonnement attribué à Fourier. Et en 1873, Charles Hermite franchit le pas suivant : $\mathrm{e}$ n’est pas seulement irrationnel, il est transcendant, racine d’aucune équation polynomiale à coefficients entiers. C’est le premier nombre « naturel » dont on ait su le démontrer. Inspiré par sa méthode, Ferdinand von Lindemann établit en 1882 la transcendance de $\pi$, refermant du même coup le plus vieux problème de la géométrie grecque, la quadrature du cercle.

Exercice 22 · Nicomaque, ou dix-huit siècles pour une somme de cubes

Nicomaque de Gérase vit autour de l’an 100 de notre ère. Son Introduction arithmétique est un livre de philosophe pythagoricien plus que de démonstrateur : on y contemple les nombres, leurs figures, leurs harmonies. À la fin de son chapitre 20, il consigne une observation : écrivez la liste des nombres impairs ; le premier est le cube de $1$ ; la somme des deux suivants est le cube de $2$ ; la somme des trois suivants, le cube de $3$. Il n’en dit pas plus, n’écrit aucune formule, ne démontre rien. Toute votre feuille d’exercices tient pourtant dans cette remarque de contemplateur.

Le résultat voyage ensuite sur trois continents. Vers 499, en Inde du Nord, Aryabhata l’énonce dans son Aryabhatiya, l’un des plus anciens traités indiens de mathématiques et d’astronomie qui nous soient parvenus. Vers l’an 1000, à Bagdad, al-Karaji en donne dans son al-Fakhri la plus ancienne démonstration conservée, par un argument de proche en proche qui est l’ancêtre direct de la récurrence que vous pratiquez depuis A0. Et en 1854, le résultat trouve sa forme la plus élégante sous la plume de Charles Wheatstone, dans les comptes rendus de la Royal Society. Ce Wheatstone n’est pas un mathématicien de métier : c’est le physicien du télégraphe électrique et du pont de mesure qui porte son nom. Sa démonstration consiste précisément à développer chaque cube en nombres impairs consécutifs : dix-huit siècles après, la boucle se referme exactement sur l’observation de Nicomaque.

Exercice 23 · Cassini, un astronome, et un tour de magie

Jean-Dominique Cassini est l’astronome le plus célèbre de son temps : directeur de l’Observatoire de Paris, découvreur de quatre satellites de Saturne et de la division sombre de ses anneaux, qui porte toujours son nom. C’est lui qui énonce en 1680 l’identité sur les nombres de Fibonacci que vous avez démontrée par récurrence ; le mathématicien écossais Robert Simson la retrouvera indépendamment en 1753. Détail savoureux : la suite de Fibonacci n’était alors qu’une curiosité vieille de cinq siècles, sans aucune importance reconnue. L’identité de Cassini attendra le XIX^e siècle pour trouver son emploi le plus inattendu : un tour de magie.

Le puzzle du carré $8 \times 8$ réassemblé en rectangle $5 \times 13$ a en effet une histoire de music-hall. L’Américain Sam Loyd, le plus grand inventeur de casse-têtes de son siècle, affirmera l’avoir présenté au premier congrès américain d’échecs en 1858 ; mais sa revendication n’est imprimée qu’en 1914, dans sa Cyclopedia of Puzzles, et la première publication attestée est ailleurs : une brève note d’Oskar Schlömilch, « Ein geometrisches Paradoxon », parue en 1868 dans la Zeitschrift für Mathematik und Physik. Quant à Lewis Carroll, l’auteur d’Alice au pays des merveilles, qui fut toute sa vie professeur de mathématiques à Oxford, il travailla vers 1890 à des généralisations du paradoxe ; on ne l’apprit qu’après sa mort, quand le mathématicien Warren Weaver dépouilla ses papiers personnels et publia sa trouvaille en 1938. Votre question 4, celle du fuseau d’aire $1$ étalé le long de la diagonale, est exactement ce que Carroll cherchait à généraliser.

Exercice 24 · Viète, le déchiffreur qui écrivit le premier produit infini

François Viète n’est pas un professeur : c’est un juriste, conseiller des rois Henri III puis Henri IV, qui fait des mathématiques à ses heures avec une puissance qui stupéfie ses contemporains. Son fait d’armes le plus romanesque n’est pas géométrique : pendant les guerres de la Ligue, il casse le chiffre secret de Philippe II d’Espagne, un code de plus de cinq cents caractères, et livre à Henri IV en mars 1590 des dépêches ennemies entièrement décryptées. Philippe II, se croyant indéchiffrable, se plaint au pape : un tel exploit ne peut relever que de la magie noire.

Côté mathématiques, Viète est un homme de $\pi$. Dès 1579, il pousse la méthode d’Archimède jusqu’à des polygones de plus de $393\,000$ côtés et obtient neuf décimales exactes. Mais son geste décisif est ailleurs : en 1593, dans son Variorum de rebus mathematicis responsorum, il compare les polygones à $2^n$ et $2^{n+1}$ côtés, et en tire la première formule exacte de $\pi$ de toute l’histoire, sous la forme du premier produit infini jamais écrit : une cascade de racines de $2$ emboîtées, celle-là même que votre suite $(a_n)$ fait grandir terme à terme. Écrire un produit infini en 1593, c’est une audace pure : le mot « limite » n’existe pas, et aucun outil ne permet de dire ce qu’un tel objet signifie. Il faudra attendre 1891 pour que Ferdinand Rudio démontre rigoureusement la convergence de la formule ; trois siècles de crédit accordé à une intuition juste. L’honnêteté oblige à dire que la précision, elle, n’était pas un record : dès 1424, le Persan al-Kashi tenait seize décimales. Mais al-Kashi calculait ; Viète, lui, avait capturé $\pi$ tout entier dans une seule écriture.

Exercice 25 · Sylvester, et la plus rapide des fractions égyptiennes

James Joseph Sylvester a deux vies. Anglais, brillant et ombrageux, il traverse l’Atlantique à soixante et un ans pour devenir le premier professeur de mathématiques de l’université Johns Hopkins, et y fonde en 1878 l’American Journal of Mathematics, le plus ancien journal mathématique des États-Unis encore publié : l’école mathématique américaine naît pour une bonne part dans son bureau. C’est dans ce journal qu’il publie en 1880 l’article « On a point in the theory of vulgar fractions », où vit la suite $2$, $3$, $7$, $43$, $1\,807$ de votre exercice.

Sa suite est la version savante d’une idée gloutonne : à chaque étape, prendre le plus petit dénominateur possible qui laisse la somme des inverses strictement sous $1$. Le lien avec l’Égypte n’est pas décoratif : les scribes écrivaient réellement leurs fractions comme sommes d’inverses distincts, et la question de savoir bien décomposer est restée vivante quatre millénaires. La suite de Sylvester y détient un record, démontré par Curtiss en 1922 : parmi toutes les sommes de $k$ inverses d’entiers distincts inférieures à $1$, la sienne est celle qui s’approche le plus de $1$. Sa croissance est vertigineuse, chaque terme étant à peu près le carré du précédent : le sixième vaut $3\,263\,443$, le septième $10\,650\,056\,950\,807$, et le nombre de chiffres double à chaque pas. Elle garde pourtant ses secrets : on ignore aujourd’hui encore si tous ses termes sont sans facteur carré. Une suite définie par une ligne, et une question ouverte au bout de trois termes de plus que votre calculatrice.

Exercice 26 · Montmort, le gentilhomme qui comptait les coïncidences

Pierre Rémond de Montmort naît à Paris en 1678, dans une famille noble qui le destine au droit. Il s’enfuit à dix-huit ans, voyage en Angleterre, revient, hérite, et s’achète en 1699 une terre dont il prend le nom. Dans son château, ce gentilhomme fortuné fait de la science en amateur au sens ancien : par amour, et au meilleur niveau européen. Son Essay d’analyse sur les jeux de hazard, paru en 1708, est le premier grand traité consacré au calcul des probabilités ; c’est d’ailleurs dans ce livre qu’apparaît pour la première fois l’expression « triangle de Pascal ».

Votre problème des chapeaux y figure sous son nom d’époque : le jeu du Treize, où l’on retourne des cartes en annonçant leurs rangs et où l’on gagne à la moindre coïncidence. La question fit l’objet d’une correspondance de trois ans avec Nicolas Bernoulli, neveu de Jacob, que Montmort recevait dans son château ; leurs lettres, incorporées à la seconde édition de 1713, sont un des plus beaux exemples de recherche menée par correspondance. Euler reprendra le problème en 1751, sans connaître leurs travaux : les résultats étaient si peu diffusés qu’on pouvait les redécouvrir quarante ans plus tard. La postérité a donné un nom aux tirages sans aucune coïncidence, les dérangements, et votre constat contre-intuitif, cette probabilité qui se fige autour de $0{,}368$ dès la dizaine d’invités, est resté l’exemple d’ouverture de tous les cours de combinatoire. Montmort, lui, meurt en octobre 1719, à quarante ans, dans l’épidémie de variole qui emporte quatorze mille Parisiens.

Exercice 27 · Fourier, la démonstration que son auteur n’a jamais écrite

Le raisonnement que vous avez reproduit a une particularité rare : son auteur ne l’a jamais publié. Joseph Fourier, l’homme de la propagation de la chaleur et des séries trigonométriques (celles-là mêmes qui, dans la pièce 12 des Coulisses, mettent en échec le théorème de Cauchy), montrait volontiers ce bijou dans ses cours et ses conversations. La trace écrite est de seconde main : en 1815, un modeste répétiteur nommé Janot de Stainville publie des Mélanges d’analyse algébrique et de géométrie où il consigne la démonstration en trois pages, en précisant honnêtement qu’il la tient de Louis Poinsot, qui la tenait de Fourier lui-même. Une démonstration transmise de bouche à oreille, comme une anecdote de salon.

Le fait, lui, n’était pas nouveau : Euler avait établi l’irrationalité de $\mathrm{e}$ dès 1737, par le chemin autrement plus rude des fractions continues. Tout le génie de la version de Fourier est dans l’économie de moyens, celle que vous avez éprouvée : une suite, une majoration géométrique, et l’entier impossible coincé entre $0$ et $1$. C’est devenu la démonstration standard, celle des manuels du monde entier, et la porte d’entrée de tout un pan des mathématiques : Hermite, en 1873, en poussant très loin des idées de même famille, démontre que $\mathrm{e}$ est transcendant, et Lindemann adapte sa méthode en 1882 pour $\pi$. Une démonstration de salon devenue fondation.

Exercice 28 · Ramanujan, question 289

En 1911, Srinivasa Ramanujan a vingt-trois ans, pas de diplôme, pas de poste, et des cahiers remplis de formules que personne autour de lui ne sait lire. Cette année-là, il sort de l’ombre par deux portes à la fois dans le Journal of the Indian Mathematical Society : son premier grand article, sur les nombres de Bernoulli, et une poignée de problèmes proposés aux lecteurs. Le problème numéroté 289 tient en une ligne : trouver la valeur de l’empilement infini de radicaux que vous avez apprivoisé. Six mois passent, le journal ne reçoit aucune réponse ; Ramanujan publie alors la sienne, en 1912, et la valeur est d’une simplicité insolente.

Vous savez désormais où était la vraie difficulté, car c’est votre exercice qui vous l’a fait toucher : deviner $3$ prend trois calculs, mais donner un sens à l’écriture infinie exige d’exhiber une suite, de la majorer, d’invoquer le théorème de la limite monotone. La rigueur complète mettra du temps à suivre : un critère général de convergence pour ces radicaux emboîtés n’est publié qu’en 1935, par Herschfeld. Pour Ramanujan, la question 289 n’est qu’un début : deux ans plus tard, une lettre envoyée à Cambridge au mathématicien G. H. Hardy, remplie de formules du même acabit, lui ouvre l’Angleterre et cinq années d’une collaboration restée sans équivalent. Le jeune homme sans réponse de 1911 est aujourd’hui l’un des noms les plus célèbres des mathématiques.

Sources

• « Viète’s formula », Wikipedia (en) : 1593, premier produit infini, neuf décimales, preuve de convergence par Rudio en 1891, al-Kashi 1424.
• « The Story of Pi », Gresham College : les polygones de plus de $393\,000$ côtés de 1579.
• « François Viète », MacTutor History of Mathematics : le juriste, le déchiffrement du code de Philippe II, la plainte au pape.
• « Squared triangular number », Wikipedia (en) : Nicomaque (chapitre 20), Aryabhata 499, al-Karaji, Wheatstone 1854.
• « Al-Karaji », MacTutor History of Mathematics : la démonstration de l’al-Fakhri.
• « Cassini’s Identity », Cut-the-Knot : Cassini 1680, Simson 1753.
• « Giovanni Domenico Cassini », Wikipedia (en) : directeur de l’Observatoire de Paris (1671), les quatre satellites de Saturne (1671-1684) et la division des anneaux (1675).
• « James Joseph Sylvester », MacTutor History of Mathematics : né le 3 septembre 1814, arrivé à Baltimore en 1876.
• « Jigsaw Paradox », T. Sillke, université de Bielefeld : Schlömilch 1868, Loyd 1858/1914, Carroll et Weaver 1938.
• « Sylvester’s sequence », Wikipedia (en) : l’algorithme glouton, Curtiss 1922, la croissance doublement exponentielle, la question ouverte des facteurs carrés.
• « American Journal of Mathematics », Wikipedia (en) et « The Life of James Joseph Sylvester », N. Higham : Johns Hopkins, la fondation du journal en 1878.
• « Pierre Rémond de Montmort », MacTutor History of Mathematics : la biographie, le jeu du Treize, la correspondance avec Nicolas Bernoulli, la variole de 1719.
• « Fourier’s Infinite Series Proof of the Irrationality of e », K. Monks, MAA Convergence : Stainville 1815, la chaîne Fourier, Poinsot, Stainville.
• « The History of Euler’s Number », et « The number e », MacTutor : Bernoulli 1683, la lettre $\mathrm{e}$ vers 1727 puis dans la Mechanica de 1736.
• « Transcendence of e and π », R. Tubbs (cours) : Hermite 1873, Lindemann 1882.
• « Ramanujan’s nested radical », J. D. Cook et « Who Was Ramanujan? », S. Wolfram : la question 289 (1911), la réponse de 1912, l’article sur les nombres de Bernoulli, la lettre à Hardy ; Herschfeld 1935 pour le critère de convergence.
• Atelier A1, exercices 21 à 28, et leur corrigé : les mathématiques de ces huit histoires.