Les cinq problèmes de 1657

Le DM3 vous l’a raconté : en 1657 paraît à Leyde, chez Elzevier, le premier ouvrage imprimé sur les probabilités, le De ratiociniis in ludo aleae de Christiaan Huygens. L’auteur a vingt-huit ans. Il a rédigé son texte en néerlandais ; son ancien professeur Frans van Schooten l’a traduit en latin et l’a publié à la fin de son propre recueil, les Exercitationum mathematicarum libri quinque. Le traité démontre quatorze propositions, puis s’achève d’une façon inhabituelle : par cinq problèmes laissés au lecteur, sans aucune démonstration. Pour trois d’entre eux, Huygens imprime tout de même la réponse, un nombre nu, comme on jette un gant. Voici ces cinq énoncés.

Les cinq énoncés

Nous les traduisons d’après la version française des Œuvres complètes de Huygens (tome XIV), en gardant leur numérotation.

I. $A$ et $B$ jouent ensemble avec deux dés, à cette condition : $A$ aura gagné s’il amène $6$ points, $B$ s’il en amène $7$. $A$ fera d’abord un seul lancer ; puis $B$ deux lancers de suite ; puis de nouveau $A$ deux lancers, et ainsi de suite, jusqu’à ce que l’un ou l’autre ait gagné. On demande le rapport de la chance de $A$ à celle de $B$. Réponse : comme $10\,355$ est à $12\,276$.

II. Trois joueurs $A$, $B$ et $C$ prennent douze jetons, dont quatre blancs et huit noirs ; ils jouent à cette condition que gagnera celui qui, tirant à l’aveugle, aura le premier tiré un jeton blanc, et que $A$ tirera le premier, $B$ ensuite, puis $C$, puis de nouveau $A$, et ainsi à tour de rôle. On demande le rapport de leurs chances.

III. $A$ parie contre $B$ que, de quarante cartes dont dix de chaque couleur, il en tirera quatre de manière à avoir une carte de chaque couleur. On trouve dans ce cas que la chance de $A$ est à celle de $B$ comme $1\,000$ est à $8\,139$.

IV. On prend comme ci-dessus douze jetons, dont quatre blancs et huit noirs. $A$ parie contre $B$ que, parmi sept jetons qu’il en tirera à l’aveugle, il s’en trouvera trois blancs. On demande le rapport de la chance de $A$ à celle de $B$.

V. Ayant pris chacun douze jetons, $A$ et $B$ jouent avec trois dés, à cette condition qu’à chaque coup de $11$ points $A$ doit donner un jeton à $B$, mais que $B$ doit en donner un à $A$ à chaque coup de $14$ points, et que gagnera celui qui sera le premier en possession de tous les jetons. On trouve dans ce cas que la chance de $A$ est à celle de $B$ comme $244\,140\,625$ est à $282\,429\,536\,481$.

Remarquez la mise en scène : pour les problèmes I, III et V, la réponse est donnée, mais rien n’indique comment l’obtenir ; pour les problèmes II et IV, il n’y a même pas de réponse. Le lecteur est seul.

D’où viennent ces problèmes

Les éditeurs des Œuvres complètes ont retracé leur origine dans la correspondance de l’année 1656, celle qui circulait entre Paris et La Haye par l’intermédiaire de Pierre de Carcavi. Les problèmes I et III sont de Fermat : après avoir résolu un problème que Huygens lui avait fait transmettre, Fermat renvoie ces deux défis par la lettre de Carcavi du 22 juin 1656. Le problème V est de Pascal, qui l’avait proposé à Fermat ; Carcavi le transmet à Huygens dans sa lettre du 28 septembre 1656. Quinze jours plus tard, le 12 octobre 1656, Huygens renvoie la solution numérique, sans son analyse. Le nombre imprimé en 1657 dormait donc dans une lettre depuis un an : quand Huygens défie ses lecteurs, il connaît déjà la réponse.

Ces cinq questions occuperont les mathématiciens pendant un demi-siècle. Jan Hudde envoie ses solutions à Huygens en 1665 ; une résolution du problème I figure dans un opuscule attribué à Spinoza ; Jacob Bernoulli reprend et discute les cinq problèmes dans son Ars conjectandi, en distinguant pour le problème II trois interprétations possibles de l’énoncé (le jeton tiré est-il remis ? chacun tire-t-il dans son propre lot ?) ; Montmort, de Moivre et Struyck publient leurs propres solutions. Et c’est en cherchant une méthode générale pour le cinquième que de Moivre, dans son mémoire De mensura sortis (Philosophical Transactions, vers 1712), établit la formule close que vous avez reconstruite en Q8.

Le cinquième, qui est le vôtre

Le problème V est exactement la partie III du DM, aux rôles près : le $A$ de Huygens gagne un jeton sur $14$, c’est donc lui le joueur désavantagé, celui que le DM appelle Bruno. Vous avez fait le travail que Huygens gardait pour lui : sur les $216$ issues de trois dés, $27$ donnent une somme de $11$ et $15$ une somme de $14$ ; aux coups décisifs, le joueur favorisé gagne donc avec la probabilité $\frac{27}{42} = \frac{9}{14}$, d’où $\rho = \frac{5}{9}$ ; et avec des fortunes égales à $12$, le rapport des chances vaut $\left(\frac{9}{5}\right)^{12}$, comme en Q14.c). Reste à vérifier que ce rapport est bien celui de 1657 :

c11 = 0
c14 = 0
for a in range(1, 7):
    for b in range(1, 7):
        for c in range(1, 7):
            if a + b + c == 11:
                c11 = c11 + 1
            if a + b + c == 14:
                c14 = c14 + 1
print(c11, c14)

print(5**12)
print(9**12)

# probabilite de victoire du joueur favorise
num = 9**12
den = 5**12
print(num/(num + den))

Sortie :

27 15
244140625
282429536481
0.9991363163790152

Les deux entiers de Huygens sont exactement $5^{12}$ et $9^{12}$ : la chance du joueur désavantagé est à celle de l’autre comme $5^{12}$ est à $9^{12}$. Un avantage de $\frac{27}{42}$ contre $\frac{15}{42}$ à chaque coup décisif, répété sur douze jetons d’écart à combler, donne au favori plus de $99{,}9\ \%$ de chances de tout rafler. Huygens tenait ce nombre depuis octobre 1656 ; il faudra un demi-siècle, et la suite géométrique des différences que vous avez domptée en Q7, pour que le monde sache d’où il vient.

Sources

• Christiaan Huygens, De ratiociniis in ludo aleae, dans Frans van Schooten, Exercitationum mathematicarum libri quinque, Leyde, Elzevier, 1657 ; texte et traduction française dans les Œuvres complètes de Christiaan Huygens, tome XIV, La Haye, 1920 (les notes des éditeurs documentent l’origine des cinq problèmes et les lettres de Carcavi des 22 juin et 28 septembre 1656).
• Richard J. Pulskamp, traduction anglaise du traité et des solutions des cinq exercices, d’après les Œuvres complètes (probabilityandfinance.com).
• Abraham de Moivre, De mensura sortis, Philosophical Transactions, vol. 27.
• DM3 du chapitre A1, prologue et parties II et III : la formule close et le nombre de Huygens reconstruits question par question.