La pierre de Leyde

L’épilogue du DM2 vous a laissés devant une tombe : celle de Ludolph van Ceulen, l’homme qui a poussé la méthode d’Archimède jusqu’à trente-cinq décimales. Voici l’histoire complète de sa pierre, vérifiée pièce par pièce dans les archives que les mathématiciens néerlandais ont rouvertes pour l’an 2000.

Le maître d’escrime qui ne lisait pas le latin

Ludolph van Ceulen naît à Hildesheim le 28 janvier 1540. Il ne lit ni le latin ni le grec, ce qui, dans l’Europe savante du XVIe siècle, revient à être sourd dans une salle de concert : toute la science s’écrit dans ces langues, et il devra s’en remettre à des amis qui traduisent pour lui les textes qu’on lui oppose. Il gagne sa vie autrement : il ouvre une salle d’armes à Delft en 1580, puis une autre à Leyde en 1594, et enseigne l’escrime avant les mathématiques.

Le retournement a lieu en janvier 1600. Le prince Maurice de Nassau fonde à Leyde une école d’ingénieurs et y nomme deux professeurs : l’arpenteur Simon van Merwen et le maître d’escrime van Ceulen, chargé de l’arithmétique, de l’arpentage et de la fortification. Détail savoureux, et parfaitement documenté : sur ordre du prince, on n’y enseigne qu’en néerlandais, la langue des artilleurs et des charpentiers. L’homme qui ne lisait pas le latin devient professeur précisément là où le latin est interdit.

Trente-cinq décimales, une par an

Van Ceulen consacre l’essentiel de sa vie au polygone d’Archimède, celui que vous venez de faire tourner dans le DM2. En 1596, son livre Van den Circkel donne vingt décimales de $\pi$, obtenues avec un polygone de $60 \times 2^{29}$ côtés, soit plus de trente-deux milliards. Il continue ensuite, année après année, jusqu’à un polygone à $2^{62}$ côtés, environ $4{,}6 \times 10^{18}$, qui lui livre trente-cinq décimales.

Le chapitre permet de mesurer ce que ce chiffre a d’à la fois héroïque et raisonnable. Les questions Q13.c) et Q29 du DM vous font calculer le nombre de doublements réellement nécessaires pour trente-cinq décimales : nous ne dévoilerons pas la réponse ici, mais elle montre que van Ceulen, sans aucune théorie de la vitesse de convergence, sans même la certitude que sa suite convergeait, a dimensionné son polygone remarquablement juste. Le facteur $4$ que vous mesurez à la question Q13, lui ne pouvait que le deviner sur ses propres colonnes de chiffres. Et chaque doublement coûtait des extractions de racines carrées à la main, sur des nombres de plus de trente chiffres.

Il meurt à Leyde le 31 décembre 1610, sans avoir publié ses trente-cinq décimales. On l’enterre le 2 janvier 1611 dans l’église Saint-Pierre, la Pieterskerk, tombe « Middelkerk n° 106 » ; sa femme Adriana l’y rejoindra en 1628. Les registres de la ville ont tout conservé : l’achat de la concession, l’ouverture du caveau, et jusqu’à la sonnerie des cloches.

Une publication en pierre

C’est ici que l’histoire devient unique dans les annales des sciences : le résultat final de van Ceulen n’a été rendu public que par sa pierre tombale. L’épitaphe, rédigée en néerlandais, sa langue de toujours, annonce que le défunt a trouvé, « par beaucoup de labeur », le rapport du tour du cercle à son diamètre, puis grave les deux bornes :

Deux fractions à la manière d’Archimède, un dénominateur de $1$ suivi de trente-cinq zéros, et deux numérateurs qui ne diffèrent que d’une unité. La pierre donnait aussi la version entière : pour un diamètre de $10^{35}$, la circonférence est comprise entre les deux entiers correspondants. Plusieurs indices, dont la gravure en frontispice de Van den Circkel et des manuscrits d’arpenteurs de l’époque, suggèrent que ces chiffres couraient le long d’un grand cercle sculpté dans la dalle.

Regardez bien ce que van Ceulen a fait graver : non pas une valeur, mais un encadrement. Une borne basse certaine, une borne haute certaine, la vérité prise en tenaille entre les deux. C’est très exactement l’esprit du résultat R6 de votre DM : le même étau $A < \pi < B$ de polygones inscrits et circonscrits, poussé jusqu’à $2^{62}$ côtés et taillé dans le marbre. La rigueur du chapitre, jusque dans l’épitaphe.

La disparition, et les deux copistes

La pierre a ensuite disparu, et l’enquête menée pour l’an 2000 par R. Oomes, J. Tersteeg et J. Top permet d’être précis sur ce qu’on sait, et sur ce qu’on ignore. Le dernier témoignage direct est une lettre de 1840 : Joseph Lakanal, l’un des fondateurs de l’Institut de France, y raconte avoir vu « à Leyde, sur une tombe, 36 chiffres » (le $3$, puis les trente-cinq décimales). En 1864, un inventaire complet des monuments de la Pieterskerk constate que la dalle n’y est plus. L’enquête de 2000 situe la disparition entre 1780 et 1864, peut-être lors de la grande rénovation de l’église de 1860-1861 ; les circonstances exactes restent inconnues.

Le texte, lui, a survécu par deux chemins indépendants, et c’est un petit miracle d’archives. D’abord une traduction latine, imprimée en 1712 dans un guide de la ville, Les Délices de Leide. Ensuite, et surtout, l’original néerlandais : un voyageur anglais, Philip Skippon, l’avait recopié sur place en 1663 ; ses carnets ne furent imprimés qu’en 1732, quarante ans après sa mort, au fond d’une collection de récits de voyages. La copie est truffée de fautes de transcription, un « Gestowen » pour « Gestorven », des mots anglicisés, et les philologues de 2000 ont dû restaurer le texte mot à mot en confrontant les deux sources. Les chiffres, eux, ont traversé les siècles intacts : les bornes reconstituées encadrent bien $\pi$, et leurs trente-cinq décimales sont exactes. Van Ceulen ne s’était pas trompé d’une unité.

Le 5 juillet 2000

Ce jour-là, la Société mathématique néerlandaise organise dans la Pieterskerk une journée entière consacrée à $\pi$, adossée à un congrès international de théorie des nombres. Le prince Willem-Alexander, héritier du trône, dévoile la nouvelle pierre commémorative, gravée du texte reconstitué et de ses deux bornes. Quatre siècles après sa nomination par un prince, van Ceulen retrouve son épitaphe des mains d’un autre.

Un dernier mot sur la postérité. En Allemagne et aux Pays-Bas, $\pi$ s’est longtemps appelé le nombre ludolphien, die Ludolphsche Zahl ; Weierstrass employait encore ce nom dans un mémoire des années 1880. Le nom s’est perdu, la dalle s’est perdue, et les trente-cinq décimales n’ont plus aujourd’hui qu’un intérêt de musée : la partie III de votre DM montre qu’une machine ordinaire, programmée naïvement, décroche vers la neuvième. C’est peut-être la vraie leçon de la pierre de Leyde : van Ceulen, à la main, avec la méthode que vous avez démontrée et une patience de trente ans, a fait mieux que l’ordinateur naïf. La précision n’est pas une affaire de puissance, mais de contrôle de l’erreur.

Sources

• R.M.Th.E. Oomes, J.J.T.M. Tersteeg et J. Top, Het grafschrift van Ludolph van Ceulen, Nieuw Archief voor Wiskunde, 5e série, vol. 1, n° 2, juin 2000, p. 156 à 161 : l’enquête complète sur la pierre, sa disparition, les transcriptions de 1663 et 1712 et la reconstruction du texte.
• C. Kraaikamp et I. Driessen, Pi in de Pieterskerk, Nieuw Archief voor Wiskunde, 5e série, 2000 : la cérémonie du 5 juillet 2000.
• M. Vajta, Fourier Transform and Ludolph van Ceulen, université de Twente, 2001 : les bornes gravées et le contexte du dévoilement.
• J.J. O’Connor et E.F. Robertson, biographie de Ludolph van Ceulen, MacTutor History of Mathematics Archive, université de St Andrews.
• DM2 du chapitre A1, épilogue « Ce qui reste gravé » : le récit que cette page prolonge.