Aller plus loin · Recit

Le diagramme de bifurcation

La suite logistique en une seule image : les doublements, la cascade, le chaos, et la constante universelle de Feigenbaum.

La pièce 19 des Coulisses s’est arrêtée au bord du gouffre. Elle a montré que la suite logistique

\forall n \in \mathbb{N}, \quad x_{n+1} = r\,x_n\left(1 - x_n\right)

converge sagement vers $1 - \frac1r$ tant que $1 < r < 3$ , puis elle a annoncé la suite en trois phrases : des oscillations à deux valeurs, puis quatre, puis huit, puis le chaos. Un mot de notation : la pièce des Coulisses écrit $\mu$ et $u_n$ ce que la littérature, et cette page, notent $r$ et $x_n$ ; même suite, autre habit. Voici l’image qui manquait, celle où tout ce récit tient d’un seul regard.

Diagramme de bifurcation de la suite logistique : pour chaque valeur de r entre 2,5 et 4, les valeurs visitées par la suite après stabilisation

Comment lire cette image

Le principe de fabrication est celui de vos exercices Python, poussé à l’échelle industrielle. Pour chaque valeur de $r$ entre $2{,}5$ et $4$ (trois mille valeurs de $r$ , serrées au point de se toucher), on part de $x_0 = 0{,}5$ et on itère la relation deux cents fois sans rien tracer : on laisse mourir le régime transitoire. Puis on trace les cent valeurs suivantes, en portant $r$ en abscisse et chaque $x_n$ en ordonnée. Une colonne verticale du diagramme répond donc à la question : « pour ce $r$ , où la suite finit-elle par vivre ? »

Si la suite converge, les cent points s’empilent au même endroit : la colonne se réduit à un point, et la succession de ces points dessine une courbe. C’est la branche unique visible à gauche : pour $r \leqslant 3$ , la suite converge vers $1 - \frac1r$ , la valeur calculée par les Coulisses, et la courbe monte doucement.
Si la suite oscille entre deux valeurs, la colonne contient deux points. Entre quatre valeurs, quatre points. Et ainsi de suite.
Si la suite n’est jamais périodique, les cent points tombent tous à des hauteurs différentes : la colonne devient une poussière verticale. C’est le brouillard bleu de la droite du diagramme.

Les doublements, puis la cascade

En $r = 3$ , exactement là où le critère $|f'(\ell)| < 1$ des Coulisses cesse d’être vérifié, la branche unique se fend en deux : le point fixe devient instable, et la suite se met à osciller entre deux valeurs. C’est la première bifurcation. La deuxième arrive en $r = 1 + \sqrt6 \approx 3{,}449$ : chacune des deux branches se fend à son tour, et la période passe à $4$ . Puis $8$ vers $r \approx 3{,}544$ , puis $16$ vers $r \approx 3{,}564$ , et les fourches se resserrent si vite que l’œil ne les sépare plus.

Ce resserrement n’est pas une impression : chaque intervalle entre deux bifurcations est environ cinq fois plus court que le précédent. Les rangs de bifurcation s’accumulent donc, comme une série géométrique, vers une valeur limite finie : $r_\infty \approx 3{,}5699$ , la fin de la cascade. Au-delà, la suite cesse en général d’être périodique : le brouillard commence. Sur notre propre diagramme, recalculé pour l’occasion, les deux premiers rapports de longueurs d’intervalles valent environ $4{,}75$ puis $4{,}65$ : ils convergent vers une constante, et cette constante a une histoire.

Feigenbaum : une constante sortie d’une calculatrice de poche

En 1975, le physicien Mitchell Feigenbaum étudie ces bifurcations armé d’une calculatrice programmable HP-65, machine si lente qu’entre deux résultats il a le temps d’examiner les valeurs déjà obtenues. C’est pendant une de ces attentes qu’il remarque que les seuils de bifurcation convergent géométriquement, avec des rapports d’intervalles successifs qui tendent vers un nombre :

\delta = 4{,}669\,201\,609\ldots

La vraie découverte vient ensuite. Feigenbaum essaie une récurrence bâtie sur le sinus plutôt que sur un trinôme : la cascade de doublements est là, et le rapport limite est le même $4{,}669\ldots$ , identique dès les trois premières décimales que sa machine sait produire. L’énoncé précis de cette universalité mérite d’être cité correctement : pour toute famille de récurrences $x_{n+1} = f_r(x_n)$ où $f_r$ est une fonction « à une bosse » dont le maximum est quadratique (localement en parabole, comme tout maximum ordinaire), les valeurs $r_1, r_2, r_3, \ldots$ des doublements successifs vérifient

\lim_{n \to +\infty} \frac{r_n - r_{n-1}}{r_{n+1} - r_n} = \delta,

avec le même $\delta$ pour toutes ces familles. La forme précise de $f$ ne compte pas ; seule compte la nature quadratique de sa bosse. Une constante de la nature cachée dans un trinôme : voilà pourquoi les Coulisses parlaient d’universalité. L’histoire de la publication vaut le détour : le résultat, trouvé en 1975, ne paraît qu’en 1978 dans le Journal of Statistical Physics, après des refus de revues qui n’y croyaient pas ; la même année, les Français Pierre Coullet et Charles Tresser aboutissent indépendamment au même phénomène par les mêmes idées de renormalisation ; et la démonstration rigoureuse, assistée par ordinateur, attendra Oscar Lanford en 1982.

Le chaos, troué de fenêtres

Passé $r_\infty$ , le diagramme n’est pas un brouillard uniforme : il est strié de bandes claires verticales, les fenêtres, où la périodicité renaît brutalement. La plus large s’ouvre en $r = 1 + \sqrt8 \approx 3{,}83$ : trois branches nettes traversent le désordre, une orbite de période $3$ . Regardez-la de près sur l’image : chacune de ses trois branches se re-fend en deux, puis en quatre. La cascade complète de doublements se rejoue en miniature à l’intérieur de la fenêtre ( $3$ , $6$ , $12$ , $\ldots$ ), avec le même rapport $\delta$ : le diagramme contient des copies réduites de lui-même, à l’infini.

En $r = 4$ , enfin, la poussière remplit toute la hauteur : la suite visite l’intervalle $\left]0\,;1\right[$ presque entier, et deux valeurs de départ écartées de $10^{-15}$ produisent des trajectoires qui finissent par tout ignorer l’une de l’autre. C’est le chaos au sens technique, celui que le biologiste Robert May a imposé à la communauté scientifique dans son article de 1976 paru dans Nature, « Simple mathematical models with very complicated dynamics », cité des milliers de fois depuis. Son message tient en une ligne, et c’est la morale de cette image : la frontière entre l’ordre et le désordre ne passe pas entre les équations simples et les équations compliquées ; elle passe à l’intérieur d’un trinôme du second degré, quelque part entre $r = 3$ et $r = 4$ .

D’où sort l’image

Le diagramme ci-dessus n’est pas une illustration d’archive : il a été engendré par un programme d’une trentaine de lignes, exactement dans l’esprit de la partie VI de l’Atelier (pour chaque $r$ : deux cents itérations de chauffe, cent points tracés). Vous avez tous les outils pour écrire le vôtre, et c’est un excellent exercice : la seule subtilité est de jeter le régime transitoire avant de tracer. Les nombres cités ( $1+\sqrt6 \approx 3{,}449$ , les seuils $3{,}544$ et $3{,}564$ , la fenêtre en $1+\sqrt8 \approx 3{,}83$ , les rapports $4{,}75$ et $4{,}65$ ) ont été recalculés sur ce même programme.

Sources

Coulisses A1, pièce 19, « De la population au chaos » : le point fixe, le critère de stabilité, le mur $\mu = 3$ , et l’annonce de ce diagramme.
« Mitchell Feigenbaum (1944-2019) », S. Wolfram : la HP-65, la découverte de 1975, l’essai sur $\sin$ , la publication de 1978.
« Feigenbaum Constant », Wolfram MathWorld : la valeur de $\delta$ et l’universalité pour les applications à maximum quadratique.
« Period doubling », Scholarpedia : Coullet et Tresser (1978), et O. Lanford III, « A computer-assisted proof of the Feigenbaum conjectures », Bulletin of the AMS 6 (1982).
R. May, « Simple mathematical models with very complicated dynamics », Nature 261 (1976), 459-467 : l’article fondateur.