L'aire qui était un logarithme

Le paragraphe 7.4 du cours se referme sur un rendez-vous : l’aire sous l’hyperbole d’équation $y = \frac1x$, entre les abscisses $1$ et $x$, vaut exactement $\ln x$, et c’est le chapitre F6 qui le démontrera. Les Coulisses n°6 ont donné l’argument de 1647, celui de l’accordéon, qui prouve que cette aire transforme les produits en sommes.

Il reste à raconter comment cela s’est passé, et pourquoi c’est l’un des plus beaux malentendus de l’histoire des mathématiques.

1647 : mille deux cents pages pour rater un cercle

Grégoire de Saint-Vincent (1584-1667), jésuite né à Bruges, mort à Gand, longtemps professeur à Anvers (d’où l’adjectif que les Coulisses lui donnent), a consacré sa vie à un problème vieux de deux mille ans : construire à la règle et au compas un carré de même aire qu’un cercle donné. En 1647 paraît le monument de cette obsession, l’Opus geometricum quadraturae circuli et sectionum coni, un volume de plus de mille deux cents pages dont le titre annonce fièrement la quadrature du cercle.

Elle est fausse. Ses contemporains le voient vite : Christiaan Huygens, déjà croisé au chapitre F2, examine et réfute la cyclométrie du jésuite, et Vincent Léotaud publie en 1654 un Examen circuli quadraturae qui achève l’affaire. On sait aujourd’hui que la tâche était impossible, et il faudra attendre Lindemann en 1882, et la transcendance de $\pi$, pour le démontrer.

Mais au livre 6 du même ouvrage, à la proposition 109, Saint-Vincent démontre au passage un résultat dont il ne mesure pas la portée : sous l’hyperbole, quand les abscisses avancent en progression géométrique, les aires découpées avancent en progression arithmétique. Il ne prononce jamais le mot logarithme. Il cherchait un cercle.

1647-1649 : Mersenne pose un problème, Sarasa lâche le mot

Le père Marin Mersenne, plaque tournante de toute la correspondance savante de l’époque, dont les nombres premiers ouvrent le paragraphe 7 de votre cours, lit l’Opus geometricum et en tire un défi qu’il diffuse dans ses Reflexiones physico-mathematicae. Le problème, dans sa formulation d’époque : trois grandeurs quelconques étant données, rationnelles ou non, et les logarithmes de deux d’entre elles étant connus, trouver géométriquement le logarithme de la troisième.

C’est un élève de Saint-Vincent, le jésuite flamand Alphonse Antonio de Sarasa, qui répond en 1649 par un opuscule au titre transparent, Solutio problematis a R. P. Marino Mersenno minimo propositi. Sa solution consiste à prendre la proposition 109 de son maître et à dire ce que le maître n’avait pas dit : ces aires sont des logarithmes, à un facteur près.

Notez la scène. Un homme cherche le cercle et trouve le logarithme sans le voir ; un autre pose une question sur les logarithmes ; un troisième s’aperçoit que la réponse dormait dans le livre du premier. Aucun des trois n’a inventé quoi que ce soit tout seul.

Vérifier l’accordéon à la machine

L’argument des Coulisses est géométrique et ne demande aucun calcul. Vérifions-le tout de même numériquement, parce que c’est instructif de voir des nombres obéir.

Notons $A(a)$ l’aire sous $y = \frac1x$ entre les abscisses $1$ et $a$, approchée par une somme de rectangles (méthode du point milieu, cent mille sous-intervalles). Le programme tient en cinq lignes.

from math import log

def aire(a, n=100_000):
    """Aire sous y = 1/x entre 1 et a, par la methode du point milieu."""
    pas = (a - 1) / n
    return pas * sum(1 / (1 + (k + 0.5) * pas) for k in range(n))

for a in [1, 2, 4, 8, 16, 32]:
    print(f"A({a:>2}) = {aire(a):.10f}")

Les abscisses doublent ; regardez la colonne des aires.

$a$	$A(a)$	Écart avec la ligne précédente
$1$	$0{,}000\,000\,0$
$2$	$0{,}693\,147\,2$	$0{,}693\,147\,2$
$4$	$1{,}386\,294\,4$	$0{,}693\,147\,2$
$8$	$2{,}079\,441\,5$	$0{,}693\,147\,2$
$16$	$2{,}772\,588\,7$	$0{,}693\,147\,2$
$32$	$3{,}465\,735\,9$	$0{,}693\,147\,2$

Progression géométrique à gauche, progression arithmétique à droite : c’est la proposition 109, en dix lignes de Python, trois cent soixante-dix-neuf ans plus tard. Et la raison de la progression arithmétique, $0{,}693\,147\ldots$, vous la reconnaissez : c’est $\ln 2$.

L’accordéon se vérifie tout aussi vite. L’aire entre $1$ et $2$ et l’aire entre $3$ et $6$ valent toutes deux $0{,}693\,147\,180\,6$ (recalculé à trente chiffres, elles coïncident exactement) : étirer trois fois en largeur et aplatir trois fois en hauteur ne change rien.

1668 : Mercator baptise, et le mot « naturel »

Nicolaus Mercator publie en 1668 sa Logarithmotechnia, où il donne la série que les Coulisses ont chronométrée (et que l’extra « Les sorties de l’Atelier » met en course contre sa rivale accélérée), et surtout un nom : logarithmus naturalis.

Pourquoi « naturel » ? Pas pour la raison que l’on croit. En 1668, $\mathrm{e}$ n’existe pas, $\exp$ n’existe pas, et personne ne peut dire « c’est le logarithme de base $\mathrm{e}$ ». « Naturel » veut dire, à l’époque : celui que la nature de la courbe produit, sans qu’on ait rien choisi. Tous les autres logarithmes, celui de Napier, celui de Briggs, celui de Bürgi, résultent d’un réglage : une base, un facteur d’échelle, une convention. L’aire sous l’hyperbole, elle, ne se règle pas. Elle est ce qu’elle est.

C’est exactement l’argument que reprend votre cours, au paragraphe 6, sous une autre forme : parmi toutes les fonctions qui transforment les produits en sommes, $\ln$ est la seule dont la dérivée soit $\frac1x$ tout court, sans facteur correctif. Le mot de 1668 et le théorème de votre chapitre disent la même chose, et cette phrase a mis quatre-vingts ans à devenir démontrable.

L’ordre du cours est l’inverse de l’ordre de l’histoire

Voici la chronologie, et elle est vertigineuse.

Date	Événement
$1614$	Napier publie ses tables : le logarithme est un objet numérique
$1647$	Saint-Vincent : le logarithme est une aire
$1649$	Sarasa le dit explicitement
$1668$	Mercator : le logarithme est une série, et il s’appelle naturel
$1748$	Euler, Introductio in analysin infinitorum : le logarithme est la réciproque d’une exponentielle

Cent trente-quatre ans séparent la première ligne de la dernière. Pendant tout ce temps, le logarithme existe, se calcule, se tabule, s’enseigne et sert à faire de l’astronomie, sans que la fonction exponentielle soit définie. C’est Euler qui renverse l’édifice en 1748 : il pose $\mathrm{e}$, il construit $x \longmapsto \mathrm{e}^{x}$ comme objet premier, et il fait du logarithme sa réciproque.

Votre classe de première a suivi Euler, votre chapitre F3 aussi : le paragraphe 1 définit $\ln$ comme la réciproque de $\exp$, et tout le reste en découle. C’est l’ordre logique, celui qui donne les démonstrations les plus courtes. Ce n’est pas l’ordre historique, et ce n’est même pas son cousin : c’est son exact contraire. Le logarithme a vécu cent trente ans avant la fonction dont il est aujourd’hui officiellement le miroir.

Ce que le chapitre F6 devra encore prouver

Pour que l’aire de 1647 devienne le $\ln$ de votre cours, il manque trois choses, et aucune n’est un détail.

• Donner un sens à l’aire. Une région courbe n’a pas d’aire par décret : il faut construire l’intégrale, ce qui occupe l’essentiel du chapitre F6.
• Étendre l’aire au-dessous de $1$. Pour $0 < x < 1$, la région se parcourt à l’envers ; il faut convenir de la compter négativement, ce que l’intégrale fait naturellement, et l’on retrouve $\ln x < 0$ sur $\left]0\,;1\right[$.
• Établir que l’aire accumulée est dérivable, de dérivée $\frac1x$. C’est le théorème fondamental de l’analyse. Il donne d’un coup la constante multiplicative que Sarasa laissait indéterminée : elle vaut $1$, et l’aire n’est pas un logarithme, elle est $\ln$ lui-même.

Le paragraphe 4 de votre chapitre a démontré que $\ln' = \frac1x$ par la réciproque, sans jamais parler d’aire. Le chapitre F6 fera le chemin inverse, en partant de l’aire pour retrouver la fonction. Les deux routes se rejoignent, et c’est cette jonction, en 1748, qui a clos le dossier.

Sources

• Cours F3, paragraphe 7.4 (la promesse de l’aire) et paragraphe 6.2 (toutes les machines à produits) ; Coulisses n°6, pièce 49 L’hyperbole pressée comme un accordéon, dont cette page est la suite historique.
• Grégoire de Saint-Vincent, Opus geometricum quadraturae circuli et sectionum coni, Anvers, 1647, livre 6, proposition 109. Sur la réfutation de sa quadrature du cercle : Christiaan Huygens, Examen de la cyclométrie de Grégoire de Saint-Vincent, et Vincent Léotaud, Examen circuli quadraturae, 1654.
• Alphonse Antonio de Sarasa, Solutio problematis a R. P. Marino Mersenno minimo propositi, Anvers, 1649, en réponse au défi lancé par Mersenne dans ses Reflexiones physico-mathematicae.
• Nicolaus Mercator, Logarithmotechnia, Londres, 1668 ; Leonhard Euler, Introductio in analysin infinitorum, Lausanne, 1748.
• Les aires de cette page ont été calculées par quadrature à trente chiffres significatifs, et le script Python donné plus haut les reproduit à quelques milliardièmes près (l’écart croît avec la largeur de l’intervalle : il vaut $4 \times 10^{-9}$ pour $A(32)$).