F3 · analyse

F3 · Fonction logarithme

La fonction qui transforme les produits en sommes

« Artifice admirable [...] qui, en réduisant à quelques jours le travail de plusieurs mois, double, si l'on peut ainsi dire, la vie des astronomes. »

— Laplace, à propos des logarithmes, Exposition du système du monde, 1796

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Phase 1 · ~5-10 min

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Trois idées clés

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•Une équation dont l'inconnue est en exposant résistait à toute technique algébrique ; sa clé est la réciproque de l'exponentielle, le logarithme népérien, qu'un théorème d'existence et d'unicité fait naître
•Pour tous réels $a > 0$ et $b > 0$, $\ln(ab) = \ln a + \ln b$ : la machine transforme les produits en sommes, et cette seule propriété a bouleversé le calcul pendant trois siècles
•Dérivée $\frac{1}{x}$, courbe concave, croissance imperturbable mais lente : $\ln$ franchit tout seuil, et toute puissance le sème

ACT-F3 L'exposant caché : quatre phases d'enquête menées seul, une table qui multiplie en additionnant, la chasse au $t$ tel que $2^{t} = 3$, et une fonction fabriquée de vos mains avant que le cours ne lui donne son nom

COURS-F3 Sections 1 à 3 : le problème inverse et la naissance de $\ln$ par le théorème des valeurs intermédiaires, la propriété fondamentale et toute sa descendance, l'outil à seuils qui solde enfin la dette du chapitre A1

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✍️

L'essentiel en cinq questions

5 questions · ~4 min · ★★

Définition, réciprocité, propriété fondamentale, signe de $\ln$

✍️

Le tour complet du chapitre

15 questions · ~13 min · ★★★

QCM, V/F, chasse à l'erreur, associations, de la définition aux croissances comparées et aux changements de base

✍️

Le permis de logarithme

10 verdicts · ~8 min · ★★★★

Domaines, ensembles de solutions et signes : trancher avant de calculer, et savoir d'où vient chaque borne

EXO-F3 L'Atelier : 31 exercices en six parties, des gammes de la machine à produits aux six preuves que le cours a déléguées, en passant par les études type bac et le laboratoire Python

EXO-F3-CORR Le corrigé complet des trente et un exercices, défis étoilés compris, avec les rédactions modèles sur les questions pivots

Phase 3 · ~5-10 min

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Consolide l'essentiel avec les formules et flashcards

Formules essentielles

Memento

Définition du logarithme

$\forall x > 0,\ \forall t \in \mathbb{R} : \ln x = t \iff x = \mathrm{e}^t$

Logarithme d'un produit

$\forall a > 0,\ \forall b > 0 : \ln(ab) = \ln a + \ln b$

Logarithme d'un quotient

$\forall a > 0,\ \forall b > 0 : \ln\dfrac{a}{b} = \ln a - \ln b$

Logarithme d'une puissance

$\forall a > 0,\ \forall n \in \mathbb{Z} : \ln\bigl(a^n\bigr) = n \ln a$

Stricte croissance

$\forall a > 0,\ \forall b > 0 : \ln a < \ln b \iff a < b$

Dérivée du logarithme

$\forall x > 0 : \ln'(x) = \dfrac{1}{x}$

Dérivée de $\ln u$

$\forall x \in I : (\ln u)'(x) = \dfrac{u'(x)}{u(x)} \quad (u > 0 \text{ sur } I)$

Limites aux bornes

$\lim_{x \to 0^+} \ln x = -\infty \qquad \lim_{x \to +\infty} \ln x = +\infty$

Croissance comparée en $+\infty$

$\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{x} = 0$

Croissance comparée en $0^+$

$\lim_{x \to 0^+} x \ln x = 0$

Logarithme de base $a$

$\forall a > 0,\ a \neq 1,\ \forall x > 0 : \log_a x = \dfrac{\ln x}{\ln a}$

Logarithme d'une somme

$\ln(a + b)$ : aucune formule ; le logarithme ne transforme que les produits.

Flashcards · 24 cartes · 8 catégories

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FICHE-F3 La carte mentale à quatre branches (définir, transformer, dériver, comparer), le tableau des passages au logarithme, les trois bases et leurs métiers, et le rituel des seuils en cinq étapes

COURS-F3 Les deux démonstrations exigibles et la concavité (sections 4 et 5), les logarithmes de toutes les bases (section 6), $\ln$ au travail sur les chiffres, les dichotomies et les nombres premiers (section 7), et le laboratoire qui calcule $\ln 2$ sans la touche ln (section 8)

Automatismes : le cahier de calcul

Projet Cahier de calcul (coord. Colas Bardavid), consultable sur le site des auteurs.

Phase 4

Aller plus loin

Ressources complementaires et approfondissement

L'envers des tables. Cinq pièces et trois brèves rouvrent les tiroirs du cours : le logarithme du baron écossais, qui était décroissant et transformait les produits en sommes à une constante près ; un jésuite qui démontre qu'une aire sait multiplier, en pressant une hyperbole comme un accordéon ; une formule exacte de 1668 qui calcule moins bien que les racines carrées de 1624 ; les premières pages des vieilles tables, plus sales que les dernières, et ce que cette saleté dit aujourd'hui aux contrôleurs du fisc ; et la ligne qu'un lycéen de quinze ans a écrite au dos d'une table avant de la garder pour lui cinquante-sept ans. Les quatre tiroirs restés ouverts s'ouvrent ici.

Les Coulisses n°6

Vingt ans dans un manoir écossais

Ce que Napier a réellement calculé entre 1594 et 1614, seul à Merchiston : une machine faite de deux points mobiles, une équation différentielle avant la lettre, et un logarithme décroissant qui s'annule en dix millions. « Népérien » est un hommage francisé, pas une paternité.

L'aire qui était un logarithme

Grégoire de Saint-Vincent en 1647, son élève Sarasa en 1649 : sous l'hyperbole d'équation $y = \frac{1}{x}$, les abscisses progressent géométriquement quand les aires progressent arithmétiquement. Le logarithme dit naturel naît là, comme une aire, trente ans après les tables, et il précède historiquement l'exponentielle : l'ordre du cours est l'inverse de l'ordre de l'histoire.

La fonction qui compte les premiers

La note écrite en 1792 au dos d'une table par un garçon de quinze ans, la lettre de 1849 qui la révèle enfin, Legendre en rival, et la démonstration qui n'arrive qu'en 1896, par deux chemins indépendants. Avec le script qui compare $\pi(x)$ à $\frac{x}{\ln x}$, et le concurrent que Gauss préférait à sa propre formule.

La règle à calcul

Trois cent cinquante ans d'ingénierie analogique : la ligne graduée de Gunter en 1620, les réglettes coulissantes d'Oughtred vers 1622, les ponts, les moteurs, les avions et les trajectoires d'Apollo calculés dessus, et la mort subite en 1972 sous les coups d'une calculatrice de poche. Le principe tient dans une graduation, et l'objet se fabrique en papier.

Les pages sales

Pourquoi les premières pages des vieilles tables de logarithmes sont-elles plus usées que les dernières ? Newcomb pose la question en 1881, Benford la reprend en 1938, et la réponse est une loi qui prédit le premier chiffre des nombres du monde réel. Le fisc s'en sert aujourd'hui pour repérer les déclarations inventées.

Le récit des accordeurs