Les tiroirs du numéro 6

Les Coulisses n°6, L’envers des tables, ont laissé plusieurs questions en suspens et renvoyé leurs réponses ici. Les voici toutes, sans rien garder en réserve. Chaque valeur numérique a été recalculée.

Vrai ou légende : le quart d’heure de silence

L’affirmation à trancher, posée au bas de la pièce 48 :

Lors de leur première rencontre à Édimbourg, Napier et Briggs seraient restés un quart d’heure face à face, muets d’admiration, avant qu’un seul mot ne soit prononcé.

Le verdict : légende

Pas une légende fausse, une légende invérifiable, ce qui est différent et plus intéressant.

Les faits solides d’abord. Henry Briggs lit la Descriptio dès sa parution en 1614, s’enthousiasme, écrit, et fait effectivement le voyage de Londres à Édimbourg, quatre cents milles à cheval, à l’été 1615, puis une seconde fois en 1616. Les deux hommes se rencontrent, discutent, et de cette rencontre sort la décision qui a changé le calcul : refonder les logarithmes en imposant $\log 1 = 0$ et $\log 10 = 1$. Cela, personne ne le conteste.

La scène du quart d’heure, elle, ne repose que sur une seule source, et elle est tardive. C’est William Lilly qui la rapporte, dans une autobiographie rédigée vers 1668, plus d’un demi-siècle après les faits, et publiée seulement en 1715 ; encore ne prétend-il pas avoir assisté à la scène, il se réclame du récit d’un tiers, John Marr, qui aurait été présent. Lilly est un personnage haut en couleur : il est le plus célèbre astrologue anglais de son siècle, auteur de prédictions à sensation, et son livre est un livre de souvenirs, pas un document d’archive. Il rapporte la scène avec un luxe de détails qui devrait alerter : les deux hommes se regardent, personne ne parle, et Briggs finit par prononcer un compliment parfaitement tourné sur le voyage entrepris pour voir l’homme qui avait trouvé les logarithmes.

Aucune lettre, aucun journal, aucun témoignage contemporain ne confirme quoi que ce soit du quart d’heure. Et une anecdote qui n’a qu’une source, arrivée cinquante ans plus tard, par un intermédiaire, sous la plume d’un homme qui vit de récits frappants, a toutes les caractéristiques de ce que les historiens appellent une légende dorée : trop belle pour être écartée, trop seule pour être crue.

Le verdict raisonnable tient donc en deux points. La rencontre : historique. Le quart d’heure de silence : invérifiable, probablement embelli, et à raconter avec le sourire, en disant d’où il vient. C’est d’ailleurs la meilleure façon de le raconter, parce que la vraie histoire est plus étonnante que l’anecdote : un professeur de Londres traverse la Grande-Bretagne à cheval pour aller convaincre un baron écossais que son invention géniale a la mauvaise constante, et le baron lui donne raison.

Le bonus de la pièce 48 : où le point libre a-t-il parcouru $10^7$ ?

La question. Le logarithme de Napier est défini par

$\forall x \in \left]0\,;10^{7}\right], \quad \mathrm{NapLog}(x) = 10^{7} \ln \frac{10^{7}}{x},$

et l’on cherche la distance restante $x$ pour laquelle $\mathrm{NapLog}(x) = 10^{7}$, c’est-à-dire l’instant où le point libre a parcouru exactement la longueur du segment.

La résolution, en trois égalités équivalentes, la fonction $\ln$ étant strictement croissante donc injective sur $\left]0\,;+\infty\right[$ :

$10^{7} \ln \frac{10^{7}}{x} = 10^{7} \iff \ln \frac{10^{7}}{x} = 1 \iff \frac{10^{7}}{x} = \mathrm{e},$

d’où

$\boxed{\ x = \frac{10^{7}}{\mathrm{e}} \approx 3\,678\,794{,}4\ }$

Voilà l’élégance annoncée : le nombre $\mathrm{e}$ apparaît dans une construction de 1614, alors que personne, à Merchiston, n’avait entendu parler de l’exponentielle. Il est là parce que la définition de Napier est une équation différentielle déguisée : un mobile dont la vitesse est proportionnelle à ce qui lui reste à parcourir est divisé par $\mathrm{e}$ pendant que son concurrent parcourt une longueur de segment entière. La page consacrée aux vingt années de Napier développe ce que cela signifie pour ses tables.

Le bonus de la pièce 50 : combien de termes pour six décimales de $\ln 2$ ?

La question porte sur la série de Mercator prise en $x = 1$ :

$\ln 2 = 1 - \frac12 + \frac13 - \frac14 + \cdots$

L’erreur commise en tronquant après $N$ termes est majorée par le premier terme négligé, $\frac{1}{N+1}$. « Garantir six décimales » signifie garantir une erreur strictement inférieure à $5 \times 10^{-7}$, la moitié d’une unité du sixième rang, seuil qui assure l’arrondi correct. La condition s’écrit donc

$\frac{1}{N+1} < 5 \times 10^{-7} \iff N + 1 > 2 \times 10^{6} \iff N > 1\,999\,999,$

et comme $N$ est entier :

$\boxed{\ N \geqslant 2\,000\,000\ }$

Le seuil est serré, et il vaut la peine de le regarder de près : pour $N = 1\,999\,999$, le majorant vaut exactement $\frac{1}{2\,000\,000} = 5 \times 10^{-7}$, donc il ne permet pas de conclure ; il faut un terme de plus. Deux millions de termes pour six décimales.

Ce n’est pas seulement une majoration pessimiste. La vraie erreur, mesurée, se comporte comme $\frac{1}{2N}$, ce qui ne change rien à l’ordre de grandeur : l’erreur réelle après un million de termes vaut $5{,}0000 \times 10^{-7}$, et après deux millions $2{,}5000 \times 10^{-7}$. La série alternée est donc à peu près deux fois meilleure que son majorant, et c’est tout ce qu’on peut en tirer.

Termes sommés	Erreur réelle sur $\ln 2$
$10$	$4{,}75 \times 10^{-2}$
$100$	$4{,}98 \times 10^{-3}$
$1\,000$	$5{,}00 \times 10^{-4}$
$10\,000$	$5{,}00 \times 10^{-5}$
$10^{6}$	$5{,}00 \times 10^{-7}$

Chaque décimale coûte dix fois plus de termes que la précédente. La colonne de droite est presque exactement $\frac{1}{2N}$, et c’est ce que dit l’exergue de la pièce 50 : une formule exacte n’est pas encore un algorithme. Le duel chronométré contre la série accélérée, avec les deux scripts, est mené dans la page des sorties de l’Atelier.

Premier défi : les chiffres de tête de $2^1$ à $2^{30}$

La liste complète, calculée en entiers exacts.

$n$	$2^{n}$	Tête	$n$	$2^{n}$	Tête
$1$	$2$	$2$	$16$	$65\,536$	$6$
$2$	$4$	$4$	$17$	$131\,072$	$1$
$3$	$8$	$8$	$18$	$262\,144$	$2$
$4$	$16$	$1$	$19$	$524\,288$	$5$
$5$	$32$	$3$	$20$	$1\,048\,576$	$1$
$6$	$64$	$6$	$21$	$2\,097\,152$	$2$
$7$	$128$	$1$	$22$	$4\,194\,304$	$4$
$8$	$256$	$2$	$23$	$8\,388\,608$	$8$
$9$	$512$	$5$	$24$	$16\,777\,216$	$1$
$10$	$1\,024$	$1$	$25$	$33\,554\,432$	$3$
$11$	$2\,048$	$2$	$26$	$67\,108\,864$	$6$
$12$	$4\,096$	$4$	$27$	$134\,217\,728$	$1$
$13$	$8\,192$	$8$	$28$	$268\,435\,456$	$2$
$14$	$16\,384$	$1$	$29$	$536\,870\,912$	$5$
$15$	$32\,768$	$3$	$30$	$1\,073\,741\,824$	$1$

Le compte des chiffres de tête sur ces trente premières puissances :

Tête	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$
Effectif	$9$	$6$	$3$	$3$	$3$	$3$	$0$	$3$	$0$

Neuf têtes de $1$ sur trente, soit $30\,\%$. La loi de Benford en prédit $30 \times \log 2 = 9{,}03$. Sur un échantillon de trente valeurs, le hasard aurait pu faire n’importe quoi, et il tombe à trois centièmes de la prédiction.

Deux détails méritent le coup d’œil. D’abord, les chiffres $7$ et $9$ sont totalement absents : c’est la queue de l’escalier de Benford, celle des chiffres rares, et trente tirages ne suffisent pas à la peupler. Ensuite, la colonne des têtes est presque périodique de période $10$ : les têtes de $2^{4}, 2^{14}, 2^{24}$ valent toutes $1$, celles de $2^{5}, 2^{15}, 2^{25}$ valent toutes $3$. La raison est que $2^{10} = 1024$ vaut à peine plus que $1000$ : multiplier par $2^{10}$, c’est presque décaler la virgule de trois rangs, et le motif se répète en dérivant très lentement. Il finit par dériver quand même, et c’est cette dérive qui, à la longue, redistribue les têtes selon la loi.

Second défi : $\log 2$ est irrationnel

Le défi demandait trois lignes, sans limite ni analyse. Les voici.

Démonstration. Supposons $\log 2$ rationnel. Comme $1 < 2 < 10$ et que $\log$ est strictement croissante, $0 < \log 2 < 1$, donc il existe deux entiers $p$ et $q$ avec $1 \leqslant p < q$ et $\log 2 = \dfrac{p}{q}$.

Par définition du logarithme décimal, $\log 2 = \frac{p}{q}$ équivaut à $2 = 10^{p/q}$, donc, en élevant à la puissance $q$ :

$2^{q} = 10^{p}.$

Or $p \geqslant 1$, donc $10^{p} = 2^{p} \times 5^{p}$ est divisible par $5$, tandis que $2^{q}$ ne l’est pas : $5$ est premier, et le seul facteur premier de $2^{q}$ est $2$. L’égalité $2^{q} = 10^{p}$ est donc impossible, et l’hypothèse de départ est absurde.

$\boxed{\ \log 2 \notin \mathbb{Q}\ }$

Trois lignes, et pas la moindre analyse : le raisonnement est purement arithmétique, et il repose entièrement sur l’unicité de la décomposition en facteurs premiers. On peut le résumer d’une phrase : une puissance de deux ne finit jamais par un zéro.

Le même raisonnement, appuyé sur l’unicité de la décomposition en facteurs premiers, montre que $\log n$ est irrationnel dès que $n$ n’est pas une puissance de $10$, et c’est ce que classe l’exercice 27 de l’Atelier, Aucune fraction.

Et cette irrationalité n’est pas une curiosité isolée : c’est elle qui fait tenir la loi de Benford sur les puissances de $2$, par le théorème d’équirépartition de Weyl. Un énoncé d’arithmétique de trois lignes gouverne une statistique sur dix mille nombres de trois mille chiffres. Le détail est raconté dans la page des pages sales.

Sources

• Coulisses n°6, pièces 48, 50 et 51, et leurs encadrés Bonus.
• Sur la rencontre d’Édimbourg : W. Lilly, History of His Life and Times, publié en 1715 d’après un manuscrit de 1668 ; l’anecdote est reprise par presque toutes les histoires des logarithmes, généralement sans mention de sa source unique. Les archives Napier et Briggs ne la corroborent pas.
• Atelier F3, exercices 27 Aucune fraction et 31 Le premier chiffre du géant.
• Valeurs recalculées en Python : $10^{7}/\mathrm{e}$ et les sommes partielles en arithmétique décimale à quarante chiffres, les chiffres de tête sur les entiers exacts.