Le récit des accordeurs

Le devoir Pourquoi douze notes ? a promis, en se refermant, trois récits, deux scripts et quelques pistes. Voici les uns et les autres. Les pistes restent des pistes : le devoir n’a pas de corrigé, et ces questions-là sont ouvertes pour de bon.

Pékin, 1584 : les douze rapports au boulier

Le premier calcul complet et exact du tempérament égal n’est pas européen. Il est chinois, il date de 1584, et son auteur est un prince.

Zhu Zaiyu, membre de la famille impériale des Ming, mathématicien et théoricien de la musique, publie cette année-là les douze rapports de la gamme égale dans un traité sur les tuyaux sonores. Le problème qu’il résout est celui du devoir : découper l’octave, c’est-à-dire le rapport $2$, en douze intervalles rigoureusement identiques, ce qui revient à calculer

$\sqrt[12]{2} = 2^{1/12} \approx 1{,}059\,463\,094\,359\,295\,264\,561\,825.$

La difficulté, en 1584, n’est pas de comprendre la question, elle est de calculer la réponse. Il n’existe ni logarithmes (Napier publiera trente ans plus tard), ni exponentielle, ni aucune manière commode d’élever un nombre à une puissance fractionnaire. Zhu Zaiyu s’en tire par une décomposition de l’exposant, et elle est très élégante :

$\frac{1}{12} = \frac12 \times \frac12 \times \frac13,$

c’est-à-dire

$2^{1/12} = \sqrt[3]{\sqrt{\sqrt{2\,}}}.$

Deux racines carrées, puis une racine cubique. Les racines carrées, on sait les extraire chiffre à chiffre depuis l’Antiquité ; la racine cubique aussi, par une méthode analogue, plus pénible. Zhu Zaiyu les conduit au boulier, et selon les sources jusqu’à vingt-quatre chiffres exacts. Le détail vaut d’être savouré : il calcule d’abord $\sqrt{2} = 1{,}414\,213\ldots$, puis $\sqrt[4]{2} = 1{,}189\,207\ldots$, puis extrait la racine cubique de ce dernier. Le résultat qu’il imprime est celui que votre calculatrice affiche.

Il fait mieux que le calculer : il en tire les longueurs de tuyaux et de cordes correspondantes, gamme complète, prête à fabriquer. L’Europe mettra un siècle à en faire autant. Simon Stevin obtient des valeurs approchées vers 1600 ; les facteurs d’orgues allemands s’en approchent empiriquement ; Andreas Werckmeister publie ses tempéraments « bien ordonnés » en 1691 ; et c’est en 1722 que Bach compose Le Clavier bien tempéré, dont le titre, les musicologues le rappellent volontiers, ne dit pas « également tempéré ».

Chang’an, avant notre ère : le cinquante-quatrième tuyau

Reculons de seize siècles. Jing Fang, théoricien de la cour des Han, mort en $37$ avant notre ère, travaille sur le cycle chinois des douze lü, les douze tuyaux étalons engendrés par empilement de quintes. Il constate ce que le devoir démontre en partie I : le cycle ne se referme jamais, et douze quintes dépassent sept octaves d’un petit excédent.

Alors il continue. Il empile les quintes bien au-delà de douze, et il note qu’après cinquante-trois quintes, la spirale frôle sa fermeture : le cinquante-quatrième tuyau sonne presque exactement comme le premier. L’écart entre cinquante-trois quintes et trente et une octaves est minuscule, très en dessous de ce qu’une oreille distingue entre deux sons successifs, et c’est précisément lui que la question Q11a du devoir vous fait calculer en cents. Il porte aujourd’hui le nom de comma de Mercator, du nom du même Nicolaus Mercator dont les Coulisses du chapitre racontent la série pour $\ln(1+x)$ : il refait le calcul en Europe dix-sept siècles après Jing Fang, dans des manuscrits restés inédits que William Holder popularisera. Deux découvertes indépendantes, séparées par un continent et dix-sept siècles, du même nombre irrationnel approché par la même fraction.

Ce que ni l’un ni l’autre ne pouvait dire, et que le devoir établit : ce n’est pas un hasard. $\frac{84}{53}$ est une réduite du développement en fraction continue de $\log_2 3$, et le théorème de meilleure approximation de la partie V explique pourquoi aucun cycle plus court ne se referme mieux.

Londres, 1876 : cinquante-trois touches par octave

Une gamme à $53$ degrés est une idée théorique jusqu’à ce que quelqu’un construise l’instrument. C’est ce que fait Robert Bosanquet, physicien et théoricien anglais, qui fait fabriquer vers 1876 un harmonium à cinquante-trois notes par octave, clavier généralisé à touches disposées en rangées obliques pour rester jouable. L’objet a survécu et figure dans les collections scientifiques anglaises ; Bosanquet a publié dans la foulée un traité sur les intervalles musicaux et les tempéraments réguliers.

On peut donc entendre ce que vaut la théorie. La quinte et la tierce de la gamme à $53$ y sont, à l’oreille, d’une justesse parfaite ; le devoir vous fait chiffrer l’une et l’autre aux questions Q11b et Q11c, et la comparaison avec notre clavier vaut le détour.

Et pourtant personne n’en joue. Le devoir pose la question en Q11d, et l’instrument de Bosanquet, avec son clavier généralisé qu’il a fallu incliner en rangées obliques pour qu’une main humaine puisse s’y poser, est à lui seul un indice éloquent.

Les deux scripts du devoir, complétés

L’annexe B laissait une ligne à compléter dans chacun des deux programmes. Les voici entiers, avec leurs sorties.

Fraction continue et réduites de $\log_2 3$

La ligne manquante est l’étape de l’algorithme : on retranche la partie entière, puis on prend l’inverse de ce qui reste.

import math

x = math.log(3, 2)
quotients = []
y = x
for i in range(8):
    a = int(y)              # partie entiere (y > 0 ici)
    quotients.append(a)
    y = 1 / (y - a)         # l'etape suivante
print(quotients)

p0, q0 = 1, 0
p1, q1 = quotients[0], 1
for a in quotients[1:]:
    p0, q0, p1, q1 = p1, q1, a * p1 + p0, a * q1 + q0
    print(p1, "/", q1, "  erreur :", abs(x - p1 / q1))

La sortie est exactement celle qu’annoncent les valeurs de contrôle de l’annexe B : les huit quotients $[1, 1, 1, 2, 2, 3, 1, 5]$, puis, à partir de $\frac21$, les réduites que la question Q9a vous fait construire à la main, prolongées de $\frac{84}{53}$ et $\frac{485}{306}$, chacune avec son écart à $\log_2 3$. Poussez la boucle d’un cran, range(9), et vous gagnez un quotient et la réduite $\frac{1054}{665}$ : le développement ne s’arrête pas, il ne peut pas s’arrêter, puisque $\log_2 3$ est irrationnel, et c’est très exactement ce que dit la partie III du devoir.

Le tournoi des gammes

La ligne manquante est l’erreur en cents. Pour une gamme à $n$ degrés dont le degré $p$ tient lieu de quinte, l’écart entre la quinte de la gamme et la quinte pure, mesuré en cents, vaut $1200\left|\frac{p}{n} - x\right|$ où $x = \log_2 \frac32$.

import math

x = math.log(3 / 2, 2)      # la quinte, mesuree en octaves
record = 10 ** 9
for n in range(1, 1001):
    p = round(n * x)        # le degre le plus proche de la quinte
    erreur = abs(x - p / n) * 1200      # l'erreur, en cents
    if erreur < record:
        record = erreur
        print(n, p, round(erreur, 4))

Jusqu’à $n = 53$, la sortie couronne successivement les champions que les valeurs de contrôle de l’annexe B annoncent : $1$, $2$, $3$, $5$, $7$, $12$, $29$, $41$, $53$. La suite du palmarès, les géants au-delà de $53$, est exactement ce que la question Q12a vous demande de relever : exécutez, le script répond en une seconde.

Deux lectures s’imposent déjà sur ce début de liste. La première : les dénominateurs de réduites y sont tous, $1$, $2$, $5$, $12$, $41$, $53$, et ils y sont dans l’ordre. La seconde : ils ne sont pas seuls, $3$, $7$ et $29$ s’y intercalent. Ces intrus portent un nom, ce sont les réduites intermédiaires, et ils ne contredisent nullement le théorème de la partie V : celui-ci compare $|q x - p|$, l’erreur de fermeture du cycle, tandis que le tournoi compare $\left|x - \frac{p}{q}\right|$, l’erreur par quinte, qui est la précédente divisée par $q$. Deux mesures du mérite, deux palmarès, et c’est très exactement l’anomalie de $n = 29$ que la question Q16 vous demande de démêler. Quant au prix que coûte chaque progrès au-delà de $53$, c’est l’objet de la question Q12b, et le tableau que vous obtiendrez parle de lui-même.

Les pistes des questions ouvertes

Trois questions étaient posées pour continuer le voyage. Ce qui suit ouvre, ne referme pas.

Q17a · Pourquoi la tierce seule est mauvaise conseillère

La piste, et elle est courte. Faites tourner le premier script en remplaçant math.log(3, 2) par math.log(5/4, 2) : vous obtenez les quotients $[0, 3, 9, 2, 2, 4, 6]$ et les réduites $\frac13$, $\frac{9}{28}$, $\frac{19}{59}$, $\frac{47}{146}$, et la suite. Aucun de ces dénominateurs, $3$, $28$, $59$, $146$, n’a jamais fait une gamme.

Maintenant, comparez les deux développements côte à côte. Celui de $\log_2 3$ commence par $[1; 1, 1, 2, 2, 3, \ldots]$, une file de tout petits quotients ; celui de $\log_2 \frac54$ commence par $[0; 3, 9, \ldots]$, avec un $9$ en troisième position. Or le devoir a établi en Q14 que $\left|x - \frac{p_k}{q_k}\right| < \frac{1}{q_k q_{k+1}}$, et la récurrence $q_{k+1} = a_{k+1} q_k + q_{k-1}$ dit qu’un grand quotient fait un grand saut de dénominateur. Regardez ce que cela produit : entre $3$ et $28$, le dénominateur est multiplié par plus de neuf, alors qu’entre $5$ et $12$ il n’est même pas multiplié par trois.

De là, deux questions à instruire, et elles suffisent à faire le tour du problème.

• Une réduite très bonne dont le dénominateur est très grand est-elle une bonne nouvelle pour un facteur d’instruments ? Autrement dit, que vaut une justesse excellente au prix de vingt-huit touches par octave, quand la suivante en demande cinquante-neuf ?
• Et surtout : une gamme ne sert pas un intervalle, elle les sert tous. Optimiser la seule tierce, c’est optimiser une coordonnée en oubliant les autres. La question suivante regarde ce qui arrive quand on en surveille deux à la fois.

Q17b · Deux intervalles, quatre gammes

Le tableau est à vous : pour chacune des gammes $n = 12$, $19$, $31$ et $53$, retenez le degré le plus proche de l’intervalle pur et mesurez l’écart en cents. Les cibles sont la quinte pure, $1200 \log_2 \frac32 \approx 701{,}955$, et la tierce majeure pure, $1200 \log_2 \frac54 \approx 386{,}314$. Chaque ligne a sa personnalité, et le devoir vous demande de la découvrir : contentons-nous d’ouvrir celle qu’il annonce lui-même comme la plus belle surprise.

La gamme à $31$ : sa quinte est médiocre, plus mauvaise que celle de notre clavier. Mais sa tierce tombe sous le cent, pratiquement pure, sans que personne ne l’ait construite pour cela. C’est ce qu’avait vu Christiaan Huygens, qui étudia cette division en $31$ à la fin du XVII^e siècle et en fit l’objet d’un mémoire : là où l’Europe entière optimisait la quinte, il proposait une gamme taillée pour la tierce, à une époque où la musique en faisait justement son intervalle central.

Il reste à comprendre pourquoi $31$ réussit la tierce sans avoir été construite pour elle, et c’est là que votre tableau redeviendra une question. Un indice : reprenez le développement de $\log_2 \frac54$ et regardez si $\frac{10}{31}$ y figure, ou s’en approche.

Q17c · Qu’est-ce qu’une gamme qui mérite ses touches ?

Cette question-là est libre, et elle le reste. Voici seulement deux façons opposées de la formaliser, pour montrer qu’elles ne donnent pas le même vainqueur.

Premier critère, le rendement. On fixe un budget de touches et l’on demande le meilleur résultat possible pour ce budget : on classe les gammes selon une quantité du type $n \times \varepsilon(n)$, ou $\varepsilon(n) \times \log n$, ou toute autre combinaison qui fait payer les touches. Ce critère récompense les petits dénominateurs et il place $12$ très haut.

Second critère, le seuil. On admet qu’en dessous d’un certain écart, disons quelques cents, l’oreille ne distingue plus rien, et l’on demande la plus petite gamme dont tous les intervalles utiles restent sous ce seuil. Ce critère ne récompense plus la finesse au-delà du seuil, et il change tout : selon qu’on y met la seule quinte, ou la quinte et la tierce, ou aussi la septième $\frac74$, la réponse bascule de $12$ à $19$, à $31$ ou à $53$.

Trois décisions restent entièrement à prendre, et ce sont elles qui font la difficulté : quels intervalles inscrire au cahier des charges, quel seuil d’audibilité retenir, et comment agréger plusieurs erreurs en une seule note, moyenne ou pire cas. Chacune est défendable, aucune n’est neutre, et le script du tournoi accepte n’importe laquelle : il suffit de remplacer la ligne de l’erreur. C’est le moment où les mathématiques ont fini leur travail et où le choix devient musical.

Sources

• Devoir F3 n°1, Pourquoi douze notes ?, parties III à V, annexe B et question Q17 ; Coulisses n°6, pièce 50, pour Nicolaus Mercator et sa série.
• Zhu Zaiyu, traité sur les tuyaux étalons, 1584 ; Jing Fang, cité par les traités musicaux des Han ; R. Bosanquet, An Elementary Treatise on Musical Intervals and Temperament, Londres, 1876, et l’harmonium généralisé conservé dans les collections scientifiques anglaises ; C. Huygens, mémoire sur le cycle harmonique, fin du XVII^e siècle.
• Toutes les valeurs numériques de cette page, fractions continues, réduites, cents et palmarès du tournoi, ont été recalculées en Python.