Definition
Comment se définit la fonction logarithme népérien, et sur quel ensemble ?
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Reponse
Pour tout réel $x > 0$, $\ln x$ est l'unique réel $t$ tel que $\mathrm{e}^{t} = x$.
$$\forall x > 0,\ \forall t \in \mathbb{R}, \quad \ln x = t \iff x = \mathrm{e}^{t}.$$
Autrement dit, $\ln x$ est l'exposant qu'il faut donner à $\mathrm{e}$ pour obtenir $x$.
Le domaine n'est pas négociable : réclamer $\ln 0$ ou $\ln(-5)$, c'est réclamer un exposant $t$ tel que $\mathrm{e}^{t} \leqslant 0$, ce qu'aucun réel ne fournit. D'où le permis de logarithme : avant d'écrire $\ln\bigl(u(x)\bigr)$, exiger $u(x) > 0$ et déterminer le domaine.