F4 · analyse

F4 · Fonctions trigonométriques

Sinus, cosinus : les mathématiques de l'onde

« L'étude approfondie de la nature est la source la plus féconde des découvertes mathématiques. »

— Joseph Fourier, Théorie analytique de la chaleur, 1822

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Phase 1 · ~5-10 min

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Trois idées clés

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•Sinus et cosinus cessent de mesurer des angles pour devenir des fonctions de la variable réelle ; et le radian est la seule unité qui rende $\sin' = \cos$, toute autre traînant à chaque calcul un facteur parasite, $\frac{\pi}{180}$ pour les degrés
•Une seule limite débloque tout le chapitre, $\lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} = 1$, conquise par trois aires emboîtées et le théorème des gendarmes, sans jamais s'appuyer sur sa propre conclusion
•Résoudre $\cos x = a$ ou $\sin x = a$ n'est pas un effort de mémoire : c'est dessiner un cercle et une droite, et compter les points d'intersection (il y en a presque toujours deux)

ACT-F4 La pente de l'onde : huit tangentes tracées à la règle chez soi, une courbe cachée qui se dessine toute seule, le sabotage du mode degré joué en avocat du diable, et un quotient $\frac{\sin h}{h}$ qui bloque la preuve exactement là où le cours commence

COURS-F4 Sections 1 à 3 : l'enroulement de la droite des réels sur le cercle et le radian enfin justifié, la limite fondamentale arrachée à trois aires emboîtées, puis les deux dérivées qui se répondent en cycle et la tangente $y = x$ à l'origine

Phase 2 · ~10-15 min

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Teste tes connaissances et pratique les methodes

✍️

L'essentiel en cinq questions

5 questions · ~4 min · ★★

Radian, identité du cercle, limite fondamentale, dérivées de sinus et cosinus

✍️

Le tour complet du chapitre

15 questions · ~13 min · ★★★

QCM, V/F, chasse à l'erreur, associations, de l'enroulement sur le cercle aux sinusoïdes de la physique

✍️

Combien de solutions ?

10 verdicts · ~8 min · ★★★★

Compter avant de calculer : la seconde solution sur le cercle, l'effet de bord de $[-\pi\,;\pi]$, et le transport d'intervalle qui multiplie les racines

EXO-F4 L'Atelier : 30 exercices en six parties, des gammes du cercle aux belles mathématiques de la partie VI (Bhāskara, Morrie, Ptolémée, Regiomontanus, Viète), en passant par la limite fondamentale, les dérivées composées et le monde qui oscille

EXO-F4-CORR Le corrigé complet des trente exercices, défis étoilés compris, avec huit rédactions modèles sur les questions pivots

Phase 3 · ~5-10 min

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Consolide l'essentiel avec les formules et flashcards

Formules essentielles

Memento

Enroulement et radian

$\pi \text{ rad} = 180^{\circ} \qquad \forall x \in \mathbb{R} : M(x) = (\cos x\,;\, \sin x)$

Identité du cercle

$\forall x \in \mathbb{R} : \cos^2 x + \sin^2 x = 1$

Parité

$\forall x \in \mathbb{R} : \cos(-x) = \cos x \quad \text{et} \quad \sin(-x) = -\sin x$

Périodicité

$\forall x \in \mathbb{R} : \cos(x + 2\pi) = \cos x \quad \text{et} \quad \sin(x + 2\pi) = \sin x$

Limite fondamentale

$\lim_{h \to 0} \dfrac{\sin h}{h} = 1 \qquad \lim_{h \to 0} \dfrac{\cos h - 1}{h} = 0$

Dérivées de sinus et cosinus

$\forall x \in \mathbb{R} : \sin'(x) = \cos x \quad \text{et} \quad \cos'(x) = -\sin x$

Dérivées de $\sin u$ et $\cos u$

$\begin{aligned} &u \text{ dérivable sur } I,\ \forall x \in I : \\ &(\sin u)'(x) = u'(x)\cos(u(x)) \\ &(\cos u)'(x) = -u'(x)\sin(u(x)) \end{aligned}$

Tangente en $0$

$\sin'(0) = \cos 0 = 1 \quad \text{: tangente d'équation } y = x \text{ à l'origine}$

Équation $\cos x = a$ sur $[-\pi\,;\pi]$

$\text{Si } \cos \alpha = a,\ \alpha \in [0\,;\pi] : \cos x = a \iff x = \alpha \text{ ou } x = -\alpha$

Équation $\sin x = a$ sur $[-\pi\,;\pi]$

$\text{Si } \sin\alpha = a,\ \alpha \in [-\tfrac{\pi}{2}\,;\tfrac{\pi}{2}] : x = \alpha \text{ ou } \pi - \alpha \text{ (à un tour près)}$

Signal sinusoïdal

$A > 0,\ \omega > 0 : t \mapsto A\sin(\omega t + \varphi) \text{ : amplitude } A,\ \text{période } T = \dfrac{2\pi}{\omega}$

Oscillateur harmonique

$x : t \mapsto A\cos(\omega t + \varphi) \implies \forall t \in \mathbb{R},\ x''(t) = -\omega^2\, x(t)$

Flashcards · 25 cartes · 8 catégories

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FICHE-F4 La carte mentale à quatre branches (le cercle, dériver l'onde, les équations sur $[-\pi\,;\pi]$, les garde-fous), les valeurs remarquables, la méthode du cercle en quatre lignes, et les quatre pièges qui coûtent des points

COURS-F4 Sections 4 à 6 : les équations et inéquations résolues au cercle, arcs coloriés et transport d'intervalle (section 4) ; le monde qui oscille, de la sinusoïde générale à $x'' = -\omega^2 x$ et à la résonance qui a jeté un pont dans la rivière (section 5) ; et le laboratoire, où Archimède fait sans le savoir de la limite fondamentale et où Fourier fabrique un créneau avec des vagues (section 6)

Automatismes : le cahier de calcul

Projet Cahier de calcul (coord. Colas Bardavid), consultable sur le site des auteurs.

Phase 4

Aller plus loin

Ressources complementaires et approfondissement

L'envers de l'onde. Cinq pièces et trois brèves rouvrent les tiroirs du cours : le mot le plus technique du chapitre, né peut-être d'une lecture fautive sur la table d'un traducteur de Tolède, alors que la demi-corde indienne avait traversé Bagdad sans dommage ; un astronome du Kerala qui, vers 1400, démonte le sinus en pièces polynomiales deux siècles et demi avant que l'Europe n'invente le calcul infinitésimal ; une corde de guitare qui met trois géants en fureur et fait éclater la notion même de fonction ; dix sinusoïdes de laiton qui, actionnées à la manivelle, ont prédit la mer du Débarquement ; et un petit sursaut, accroché au bord d'un signal carré, que mille sinusoïdes ne feront jamais mourir. Trois brèves referment le numéro : le radian baptisé par le frère de lord Kelvin, l'espace-temps entendu vibrer comme une corde en 2015, et les cinq hertz qui ont coûté une conférence internationale. Cinq tiroirs restent fermés ; ils s'ouvrent ici.

Les Coulisses n°7

La preuve des trois aires

La démonstration complète de $\lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} = 1$, pas à pas : un triangle dans un secteur dans un triangle, trois aires qui s'emboîtent, les gendarmes appelés deux fois, et la parité qui rapatrie la limite à gauche. Avec le cercle vicieux soigneusement évité, et l'inventaire honnête de la seule brique admise dans tout l'édifice.

La résonance des ponts

Broughton, 1831 : soixante-quatorze soldats trouvent le rebond du tablier amusant, et appuient le pas. Angers, 1850 : la tempête, une corrosion déjà critique et le pas cadencé s'additionnent, sans qu'aucune cause suffise seule à expliquer les deux cents morts. Londres, 2000 : un pont neuf ferme deux jours après son inauguration, pour une raison que personne n'avait vue venir.

La querelle des cordes vibrantes

1747 : d'Alembert met en équation une corde qui vibre, et y met une condition. Euler proteste au nom des musiciens, Daniel Bernoulli jette dans la mêlée l'idée la plus folle des trois, et la dispute s'enlise quatre-vingts ans parce que les trois hommes ne mettent pas la même chose sous le mot fonction. Fourier ose en 1807, Dirichlet arbitre en 1829, et votre définition de seconde sort de cette bagarre.

La machine à prédire les marées

Kelvin, 1872 : dix poulies, un fil, une plume, et un an de marées tracé en quelques heures par une somme de cosinus de laiton. Soixante et onze ans plus tard, onze paires de nombres arrivent sur le bureau d'Arthur Doodson pour un lieu désigné par un seul nom de code, « Position Z ». Personne n'a eu besoin de lui dire où c'était.

Le verdict de Foucault

Descartes et Fermat se disputaient la lumière : l'un la voulait plus rapide dans l'eau, l'autre plus lente, et leurs deux lois prédisaient pourtant la même réfraction. Il aura fallu attendre 1850 et une expérience de Foucault pour trancher. En prime : les $42$ degrés où l'arc-en-ciel accroche un minimum, et la brachistochrone que Jean Bernoulli a résolue en la déguisant en rayon lumineux.

Les sorties de l'Atelier