La machine à prédire les marées

Les Coulisses ont ouvert le tiroir des battements : deux sinusoïdes de périodes voisines, une enveloppe lente, les vives-eaux tous les quinze jours. Cette page raconte l’autre moitié de l’histoire, celle qui se voit et se touche : la machine, les hommes qui l’ont construite et servie, et la nuit de juin où sa sortie papier a décidé d’une date.

Une marée n’est pas une vague, c’est une somme

Regardez une courbe de hauteur d’eau relevée dans un port sur un mois : elle monte et descend deux fois par jour, mais l’amplitude change d’un jour à l’autre, les heures dérivent, et rien n’a l’air régulier. Pendant des siècles, on a prédit les marées par des recettes locales, transmises de capitaine à capitaine, valables dans un port et faux ailleurs.

L’idée de William Thomson, futur lord Kelvin, dans les années 1860-70, coupe le problème en deux. Les périodes des composantes de la marée ne dépendent pas du port : elles sont dictées par l’astronomie, par la rotation de la Terre, la révolution de la Lune, celle de la Terre autour du Soleil et l’inclinaison des orbites. Elles valent partout la même chose : environ $12{,}4206$ heures pour la composante lunaire principale, exactement $12$ heures pour la solaire, environ $23{,}93$ heures pour une composante d’inégalité diurne, et ainsi de suite. En revanche, l’amplitude et la phase de chaque composante dépendent entièrement du lieu : de la forme de la côte, de la profondeur, de la façon dont le bassin renvoie l’onde.

D’où le programme, qui est exactement celui du paragraphe 5.1 du cours appliqué une dizaine de fois de suite : observer un port pendant un an, en extraire une dizaine de couples $(A_k\,;\varphi_k)$, puis écrire la hauteur d’eau sous la forme

$$h(t) = h_0 + \sum_{k} A_k \cos(\omega_k t + \varphi_k),$$

et faire tourner cette formule aussi loin dans l’avenir qu’on veut. Mesurer une fois, prédire toujours. Ces couples de nombres portent un nom : les constantes harmoniques du port. Chaque port du monde a les siennes.

Pourquoi une poulie sait faire un cosinus

Reste à calculer la somme. En 1872, additionner dix cosinus heure par heure sur une année, c’est près de cent mille multiplications à la main. Kelvin fait construire une machine, avec l’ingénieur A. Légé.

Son principe tient dans la définition même du cosinus, celle du paragraphe 1 du cours : le cosinus est l’abscisse d’un point qui tourne à vitesse constante sur un cercle. Autrement dit, la projection d’un mouvement circulaire uniforme sur un axe est exactement une sinusoïde. Il suffit donc de faire tourner une manivelle et de projeter.

Chaque composante reçoit son engrenage, dont le rapport de démultiplication est choisi pour que sa rotation reproduise la période astronomique correspondante ; le rayon de la manivelle donne l’amplitude $A_k$, et son calage angulaire au départ donne la phase $\varphi_k$. Ce dispositif fait monter et descendre une poulie comme un cosinus. Un fil unique, en catgut, passe alternativement au-dessus et au-dessous des dix poulies : quand une poulie monte, elle raccourcit le trajet du fil d’une quantité proportionnelle à son déplacement, si bien que l’extrémité libre du fil se déplace, à un facteur près, comme la somme des dix mouvements. Une plume y est attachée, un rouleau de papier défile, et la courbe se trace toute seule.

Une manivelle, quelques heures, et l’on tenait la marée d’un port pour un an entier, heure par heure. Ces calculateurs de laiton et de bois n’ont pas d’électronique, pas de programme, pas de mémoire : ils ne savent faire qu’une chose, mais ils la font exactement, et c’est la seule chose dont on ait besoin.

Ce qu’une somme de cosinus ne fait pas : se répéter

Les Coulisses ont montré ce qui arrive quand deux composantes de périodes voisines se superposent : elles battent, et l’enveloppe lente de leur somme donne l’alternance des vives-eaux et des mortes-eaux, avec une période d’environ $14{,}8$ jours. La démonstration complète vous attend dans l’extra « Les tiroirs du numéro 7 ».

Une remarque en passant, qui vaut le détour et se vérifie en deux lignes de calcul : le double de cette durée vaut $29{,}5307$ jours, à sept secondes près la durée du mois synodique, c’est-à-dire l’intervalle entre deux pleines lunes. Ce n’est pas un hasard : la période de battement entre la composante lunaire et la composante solaire mesure exactement la vitesse à laquelle la Lune prend du retard sur le Soleil, ce qui est aussi la définition des phases de la Lune. La machine de laiton, sans le savoir, refabriquait le calendrier lunaire.

En revanche, la courbe complète, elle, ne se referme jamais à l’échelle humaine. Les périodes des composantes ne sont dans aucun rapport simple : avec les valeurs $12{,}4206$ h et $12$ h, les deux composantes lunaire et solaire ne reviendraient simultanément à leur point de départ qu’au bout de vingt mille périodes lunaires, soit environ vingt-huit ans. Reprenez le calcul avec l’arrondi $12{,}42$ h des Coulisses, et le compte tombe à deux cents périodes, une centaine de jours : la preuve que ce chiffre mesure la précision de l’arrondi bien plus que la mer. Ajoutez huit autres composantes, puis vingt-quatre, et le motif ne se reproduit plus jamais tout à fait. La mer rejoue chaque jour la même partition avec des instruments légèrement désaccordés entre eux, et c’est pour cela qu’il faut une machine plutôt qu’un almanach.

Doodson, ou la marée devient une science de bureau

Arthur Thomas Doodson dirige, dans l’entre-deux-guerres, l’institut des marées de Liverpool. Il pousse la méthode de Kelvin beaucoup plus loin : au lieu de la dizaine de composantes du modèle original, il décompose systématiquement le potentiel qui engendre la marée et en dresse la liste, plusieurs centaines de termes, chacun avec sa fréquence astronomique propre. Les grandes machines de l’institut acceptent plusieurs dizaines de composantes ; la précision des prédictions change d’ordre de grandeur.

C’est cet homme qui reçoit, en octobre 1943, une lettre du commandant Ian Farquharson, de la Royal Navy. On lui demande des prédictions horaires de hauteur d’eau sur quatre mois, à partir du 1er avril 1944, pour un lieu désigné par un nom de code, « Position Z ». En guise d’adresse, onze paires de constantes harmoniques, dont on ne lui explique ni l’origine ni la provenance. Aucun port ne s’appelle Position Z ; aucun marégraphe britannique n’a jamais mesuré une côte tenue par l’ennemi.

Doodson ne pose pas de questions et devine parfaitement de quoi il s’agit. Il fait tourner deux machines, ce qui permet de recouper les résultats : la machine de Kelvin elle-même, celle de 1872, remise à niveau en 1942 pour accepter vingt-six composantes, et sa grande sœur d’une tonne deux, la Roberts-Légé.

La mer du 6 juin

Le choix de la date du débarquement n’était pas libre, et la marée en était la contrainte principale. Les plages normandes, où le marnage atteint six mètres, avaient été hérissées par la défense allemande d’obstacles destinés à éventrer les péniches : pieux, tétraèdres, mines fixées sur des poteaux. Il fallait donc débarquer à marée assez basse pour que ces obstacles soient visibles et destructibles, mais assez tôt dans le flot montant pour que les vagues suivantes rapprochent le matériel du haut de plage. Il fallait aussi, la nuit précédente, assez de lune pour les parachutistes.

Ces conditions ne se rencontrent que quelques jours par mois. Les fenêtres possibles sont celles que les courbes de Doodson avaient tracées, des mois à l’avance, pour un lieu dont on ne lui avait pas dit le nom. Le 6 juin 1944 est l’une d’elles.

La fin du laiton, pas de la méthode

Les machines à marées ont servi jusqu’aux années 1950 et 1960, avant d’être remplacées par les ordinateurs. On aurait tort d’y voir la fin de l’histoire : ce que l’ordinateur a rendu obsolète, c’est le dispositif d’addition, les poulies et le fil, pas la mathématique. Les annuaires de marées d’aujourd’hui sont toujours calculés par la méthode harmonique de Kelvin, avec des constantes mesurées port par port et davantage de composantes. Le changement se résume à ceci : la somme de cosinus qui prenait une manivelle et un après-midi prend maintenant quelques microsecondes.

Sources

• Cours F4, paragraphes 5.1 et 5.4 ; Coulisses n°7, pièce 57 Dix sinusoïdes de laiton, dont cette page développe la machine, les hommes et l’épisode militaire.
• Sur l’analyse harmonique des marées et la machine de 1872 : IEEE Spectrum, « Lord Kelvin’s Tide-Predicting Machine » ; Science Museum Group, notice de la première machine de Thomson.
• Sur la Position Z, la lettre du commandant Farquharson d’octobre 1943, les onze paires de constantes, les deux machines employées et les contraintes de marée du débarquement : B. Parker, « The tide predictions for D-Day », Physics Today ; Tide and Time (Liverpool), « Tidal predictions for the D-Day landings ».
• Les valeurs numériques de cette page (période de battement, comparaison avec le mois synodique, période de retour des deux composantes principales) ont été recalculées en arithmétique exacte puis à trente chiffres significatifs.