La preuve des trois aires

Tout le chapitre repose sur une seule ligne :

$$\lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} = 1.$$

Sans elle, pas de $\sin' = \cos$, donc pas de $\cos' = -\sin$, donc aucune variation, aucune tangente, aucun oscillateur harmonique. Le cours en donne la démonstration au parcours A, en une page dense. Cette page-ci la reprend au ralenti : chaque étape justifiée, chaque inégalité orientée, et surtout les deux objections que la marge du cours n’avait pas la place d’instruire.

Pourquoi cette limite est difficile

Le nombre dérivé de sinus en un réel $a$ est la limite du taux d’accroissement $\frac{\sin(a+h) - \sin a}{h}$. Les formules d’addition de première le cassent en deux morceaux :

$$\forall a \in \mathbb{R},\ \forall h \neq 0, \quad \frac{\sin(a+h) - \sin a}{h} = \sin a \times \frac{\cos h - 1}{h} \;+\; \cos a \times \frac{\sin h}{h}.$$

Les deux quotients qui restent ne dépendent plus de $a$ : ce sont deux limites universelles à conquérir une fois pour toutes. Or, en $0$, numérateur et dénominateur de $\frac{\sin h}{h}$ tendent tous deux vers $0$. Aucune règle de calcul sur les limites ne s’applique à une forme « $\frac{0}{0}$ » : elle peut valoir n’importe quoi. Il faut donc de l’information sur $\sin h$ que l’algèbre ne donne pas. Cette information sera géométrique.

Trois régions emboîtées

Fixons $x \in \left]0\,;\frac{\pi}{2}\right[$. Sur le cercle trigonométrique, posons $A(1\,;0)$, puis $M(\cos x\,;\sin x)$, et enfin $T$ le point où la demi-droite $[OM)$ rencontre la tangente au cercle en $A$. Ce point existe et est unique parce que $\cos x > 0$ sur cet intervalle : la demi-droite n’est pas parallèle à la tangente. Ses coordonnées sont $\left(1\,;\frac{\sin x}{\cos x}\right)$.

Trois régions se superposent alors, chacune strictement contenue dans la suivante : le triangle $OAM$, le secteur circulaire $OAM$ (la part de disque balayée par le rayon), le triangle rectangle $OAT$. Les inclusions sont strictes : la corde $[AM]$, privée de ses extrémités, est à l’intérieur strict du disque, donc le triangle $OAM$ est strictement inclus dans le secteur ; et $OM = 1 < OT$, donc $M$ est strictement entre $O$ et $T$, et le secteur est strictement inclus dans le triangle $OAT$. Une aire plus petite pour une région strictement incluse : c’est la seule propriété de comparaison des aires que nous utiliserons, et elle donne trois nombres rangés dans l’ordre.

Calculons ces trois aires.

• Le triangle $OAM$. Base $OA = 1$, hauteur la distance de $M$ à l’axe des abscisses, c’est-à-dire $\sin x$ (positif ici). Son aire vaut $\frac{\sin x}{2}$.
• Le secteur $OAM$. Il occupe la fraction $\frac{x}{2\pi}$ du disque de rayon $1$, dont l’aire est $\pi$. Son aire vaut donc $\frac{x}{2\pi} \times \pi = \frac{x}{2}$.
• Le triangle $OAT$. Rectangle en $A$, base $OA = 1$, hauteur $AT = \frac{\sin x}{\cos x}$. Son aire vaut $\frac{\sin x}{2\cos x}$.

D’où, en multipliant les trois inégalités par $2$ :

$$\forall x \in \left]0\,;\tfrac{\pi}{2}\right[, \quad \sin x \;<\; x \;<\; \frac{\sin x}{\cos x}.$$

Regardez la ligne du secteur : c’est là que le radian entre en scène. La fraction $\frac{x}{2\pi}$ du disque n’est légitime que parce que $x$ est la longueur de l’arc intercepté, et que la part d’aire est proportionnelle à la part de circonférence. En degrés, l’aire du secteur vaudrait $\frac{\pi x}{360}$, et toute la suite traînerait ce facteur.

Deux gendarmes, pour la limite à droite

Soit $h \in \left]0\,;\frac{\pi}{2}\right[$. La première inégalité, $\sin h < h$, se divise par $h > 0$ sans changer de sens :

$$\frac{\sin h}{h} < 1.$$

La seconde, $h < \frac{\sin h}{\cos h}$, se multiplie par le nombre $\frac{\cos h}{h}$, qui est strictement positif sur cet intervalle, donc conserve le sens :

$$\cos h < \frac{\sin h}{h}.$$

Nous tenons l’encadrement $\cos h < \frac{\sin h}{h} < 1$, et tout se ramène à contrôler $\cos h$. La formule de duplication de première, $\cos h = 1 - 2\sin^2\frac{h}{2}$, s’en charge. Comme $h \in \left]0\,;\frac{\pi}{2}\right[$, on a $\frac{h}{2} \in \left]0\,;\frac{\pi}{4}\right[$, intervalle inclus dans $\left]0\,;\frac{\pi}{2}\right[$ : l’encadrement fondamental s’applique à $\frac{h}{2}$ et donne $0 < \sin\frac{h}{2} < \frac{h}{2}$. Les deux membres étant positifs, on peut élever au carré, ce qui préserve l’ordre :

$$0 < \sin^2\frac{h}{2} < \frac{h^2}{4}, \qquad \text{donc} \qquad 1 - \frac{h^2}{2} < \cos h \leqslant 1.$$

Les deux bornes tendent vers $1$ quand $h \to 0^+$. Le théorème des gendarmes du chapitre F1 donne $\cos h \longrightarrow 1$, puis, appliqué une seconde fois à $\cos h < \frac{\sin h}{h} < 1$ :

$$\lim_{h \to 0^+} \frac{\sin h}{h} = 1.$$

Voici l’étau, en chiffres (valeurs recalculées, arrondies à la sixième décimale) :

$h$	$\cos h$	$\frac{\sin h}{h}$	borne
$0{,}5$	$0{,}877\,583$	$0{,}958\,851$	$1$
$0{,}2$	$0{,}980\,067$	$0{,}993\,347$	$1$
$0{,}1$	$0{,}995\,004$	$0{,}998\,334$	$1$
$0{,}01$	$0{,}999\,950$	$0{,}999\,983$	$1$

La limite à gauche, gratuitement

Il reste la moitié négative, et elle ne coûte rien. La fonction $h \mapsto \frac{\sin h}{h}$, définie sur $\mathbb{R}^*$, est paire : par imparité du sinus,

$$\forall h \neq 0, \quad \frac{\sin(-h)}{-h} = \frac{-\sin h}{-h} = \frac{\sin h}{h}.$$

Si $h \to 0^-$, alors $-h \to 0^+$, et la valeur en $h$ est exactement la valeur en $-h$ : la limite à gauche vaut donc $1$ elle aussi. Les deux limites latérales existent et coïncident, donc la limite en $0$ existe et vaut $1$. Notez au passage que la fonction n’est pas définie en $0$ : ce que l’on démontre, c’est qu’elle admet un prolongement par continuité, et ce prolongement porte un nom, le sinus cardinal.

Le second lemme, par le même chemin

La décomposition du taux d’accroissement réclamait un second quotient. La duplication le ramène au premier :

$$\forall h \neq 0, \quad \frac{\cos h - 1}{h} = \frac{-2\sin^2\frac{h}{2}}{h} = -\sin\frac{h}{2} \times \frac{\sin\frac{h}{2}}{\frac{h}{2}}.$$

Le second facteur est la limite fondamentale, lue en $\frac{h}{2}$ au lieu de $h$ : quand $h \to 0$, $\frac{h}{2} \to 0$, donc ce facteur tend vers $1$. Le premier tend vers $0$, par exemple parce que $\bigl|\sin\frac{h}{2}\bigr| \leqslant \bigl|\frac{h}{2}\bigr|$ pour tout réel $h$ (c’est l’encadrement fondamental sur $\left]0\,;\frac{\pi}{2}\right[$, l’imparité du sinus pour les valeurs négatives, et une évidence ailleurs puisque $|\sin| \leqslant 1 < \frac{\pi}{2}$), encore par gendarmes. Le produit tend vers $0 \times 1 = 0$ :

$$\lim_{h \to 0} \frac{\cos h - 1}{h} = 0.$$

L’écriture sous forme de produit n’est pas un ornement : elle évite la forme indéterminée en isolant un facteur qui tend vers $0$ et un facteur qui tend vers $1$.

Objection n°1 : le cercle vicieux

Tout cela semble bien laborieux quand un raccourci s’offre. Le voici, et il est faux :

« $\frac{\sin h}{h} = \frac{\sin h - \sin 0}{h - 0}$, qui tend vers $\sin'(0)$ par définition du nombre dérivé. Or $\sin' = \cos$, donc la limite vaut $\cos 0 = 1$. »

Le calcul est juste, la logique ne l’est pas. Pour écrire $\sin' = \cos$, il a fallu la décomposition du taux d’accroissement, donc la limite de $\frac{\sin h}{h}$, c’est-à-dire précisément ce que l’on prétend démontrer. La conclusion sert d’hypothèse : c’est un raisonnement circulaire, et, dans l’esprit du chapitre A0, une preuve ne peut pas s’appuyer sur sa propre conclusion. Le même reproche vaut pour la règle de L’Hôpital, dont l’application ici consiste à dériver le numérateur $\sin h$.

Il existe une échappatoire honnête, mais elle change le point de départ : si l’on définit le sinus par sa série $x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} - \cdots$, la limite se lit sur la série et le cercle disparaît. Le prix à payer est alors de démontrer que cette fonction est bien le sinus de la géométrie, celui qui donne l’ordonnée du point enroulé. On ne supprime pas la difficulté, on la déplace.

Objection n°2 : et l’aire du disque ?

La démonstration par les aires n’est pas gratuite non plus. Elle utilise une brique extérieure, une seule, mais il faut la nommer : l’aire du disque de rayon $1$ vaut $\pi$, et l’aire d’un secteur est proportionnelle à l’angle. Ce résultat, admis depuis le collège, n’est pas démontré dans le chapitre.

Peut-on le démontrer sans rien emprunter ? En terminale, l’outil naturel serait l’intégrale $2\int_{-1}^{1}\sqrt{1 - t^2}\,\mathrm{d}t$. Or le calcul usuel de cette intégrale passe par le changement de variable $t = \sin u$, qui réutilise $\sin' = \cos$ : le serpent se mordrait la queue une seconde fois. Les constructions rigoureuses tournent l’obstacle autrement, par exemple en définissant $\pi$ par cette aire, ou en définissant la mesure d’un angle par la longueur de l’arc. Admettre l’aire du disque, en le disant, est donc le choix honnête à ce niveau : une preuve peut s’appuyer sur un résultat antérieur, jamais sur sa propre conclusion.

Le radian, seule unité qui donne $1$

Reprenons tout le calcul en degrés. La fonction « sinus en degrés » est $x \mapsto \sin\left(\frac{\pi x}{180}\right)$, et son taux d’accroissement en $0$ devient

$$\frac{\sin\left(\frac{\pi h}{180}\right)}{h} = \frac{\pi}{180} \times \frac{\sin\left(\frac{\pi h}{180}\right)}{\frac{\pi h}{180}} \xrightarrow[h \to 0]{} \frac{\pi}{180} \approx 0{,}017\,453.$$

La limite ne vaut plus $1$, et la dérivée du sinus en degrés est $\frac{\pi}{180}\cos$. Chaque dérivation, chaque équation différentielle, chaque calcul de physique paierait ce péage. Le radian n’est pas une convention de mathématicien tatillon : c’est l’unique unité pour laquelle la limite fondamentale vaut exactement $1$, donc l’unique unité pour laquelle l’analyse des fonctions trigonométriques reste lisible.

Sources

• Cours F4, section 2 (l’encadrement par les aires, la limite fondamentale, et l’encadré « Le piège du raisonnement circulaire »).
• Sur la circularité des preuves rapides de $\lim_{h \to 0}\frac{\sin h}{h}$ et sur le statut de l’aire du secteur : The Math Doctors, « Limit of sin(x)/x ».
• Sur le radian comme unité du calcul différentiel : Roger Cotes, Logometria (1714), repris dans Harmonia mensurarum (posthume, 1722), qui décrit la mesure par l’arc avant que le mot ne soit forgé par James Thomson en 1873.
• Toutes les valeurs numériques de cette page ont été recalculées en arithmétique à trente chiffres significatifs.