Chapitre G1 · Geometrie
G1. Orthogonalite dans l'espace
Du produit scalaire aux equations de plans
« La geometrie est l'art de raisonner juste sur des figures fausses. »
— Jean Dieudonne, 1960
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Definitions cles
- • Le produit scalaire dans l'espace : on etend la formule analytique avec trois coordonnees
- • Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul
- • Un vecteur normal a un plan est orthogonal a tout vecteur de ce plan
- • Tout plan admet une equation cartesienne $ax + by + cz + d = 0$
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COURS-G1 Section 1 : Produit scalaire dans l'espace
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Formules essentielles
Memento
Produit scalaire
$\vec{u}\cdot\vec{v} = xx' + yy' + zz'$
Norme
$\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$
Orthogonalite
$\vec{u} \perp \vec{v} \Leftrightarrow \vec{u}\cdot\vec{v} = 0$
Equation de plan
$ax + by + cz + d = 0 \quad \text{avec } \vec{n}\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}$
Distance point-plan
$d(M_0, \mathcal{P}) = \dfrac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$
Plans paralleles
$\mathcal{P}_1 \parallel \mathcal{P}_2 \Leftrightarrow \vec{n_1} \text{ et } \vec{n_2} \text{ colineaires}$
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COURS-G1 Relis les proprietes et definitions du cours
Phase 4
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Ressources complementaires et approfondissement
Euclide consacre les Livres XI a XIII de ses Elements a la geometrie de l'espace. Sa Proposition XI.4 affirme qu'une droite elevee perpendiculairement sur deux droites secantes est perpendiculaire au plan qu'elles determinent. Descartes (1637) introduit les coordonnees, et Monge (1795) fonde la geometrie descriptive sur les projections orthogonales.
— Note historique
EXO-G1 Exercices d'approfondissement sur l'orthogonalite dans l'espace